单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
设当 $x>0$ 时, 函数 $f(x)$ 满足方程 $x f^{\prime}(x)-\alpha f(x)=x^a$ ( $\alpha$ 为常数), 且 $f(1)=0$. 若 $f(x)$在 $(0,+\infty)$ 内有最大值 1 , 则常数 $\alpha$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ -e .
$\text{D.}$ e.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y= e ^{-x}(\cos x+1)$ 的特解形式为 ( ).
$\text{A.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{B.}$ $x e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{C.}$ $e ^{-x}(a x \cos x+b x \sin x+c)$
$\text{D.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c x)$
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
填空题 （共 22 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $\left(y+x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解为
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x$ ，则非齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x
$$
满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$的解为 $y=$
差分方程 $\Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$ ，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为
$\Delta^2 y_x+\Delta y_x-y_{x+2}-2 y_{x+1}=y_x$ 的通解为
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为 $y=x e ^x \cos 2 x$, 则该方程的通解为
已知微分方程 $y^{\prime}-x \sin 2 y=\frac{\ln x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}} \cos ^2 y$ ，则不定积分 $\int x \tan y d x=$
设 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
微分方程 $2 y y^{\prime}-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
差分方程 $2 y_{x+2}-2 \Delta^2 y_x-2 y_{x+1}+3 y_x=0$ 的通解为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某湖泊的水量为 $V$ ，每年排入湖泊内含污染物 $A$ 的污水量为 $\frac{V}{6}$ ，流入湖泊内不含 $A$ 的水量为 $\frac{V}{6}$ ，流出湖泊的水量为 $\frac{V}{3}$.已知 1999 年年底湖中 $A$ 的含量为 $5 m_0$ ，超过国家规定指标，为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含 $A$ 污水的浓度不超过 $\frac{m_0}{V}$. 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 $A$ 的含量将至 $m_0$ 以内? (注: 设湖水中 $A$ 的浓度是均匀的.)
设 $y=f(x)$ 是第一象限内连接点 $A(0,1), B(1,0)$ 的一段连续曲线， $M(x, y)$ 为该曲线上任意一点，点 $C$ 为 $M$ 在 $x$ 轴上的投影， $O$ 为坐标原点. 若梯形 $O C M A$ 的面积与曲边三角形 $C B M$ 的面积之和为 $\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
设 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) 求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点.
函数 $y=y(x)(x>0)$ 满足 $x y^{\prime}-6 y=$ -6 ，且 $y(\sqrt{3})=10$.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) $P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上一点，曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_y$ ，为使得 $I_y$ 最小，求 $P$ 的坐标.
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
求微分方程 ${x} {y}^{\prime}+{2 y}={x} \ln {x}$ 满足 $y({1})=-\frac{{1}}{{9}}$ 的解
已知上半平面内一曲线 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x} \geq \mathbf{0})$ ，过点 $(0,1)$ ，且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程．
求方程 $x^2 y^{\prime}+x y=y$ 满足初始条件 $y\left(\frac{1}{2}\right)=4$ 的特解．