单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\alpha(x)=\left(\frac{x^3+x^4}{x^2+x^4+1}\right)^{\frac{1}{3}}-\ln (1+x), \beta(x)=x^3 \ln |x|, \gamma(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，按无穷小阶数由高到低的顺序排列为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha(x), \beta(x), \gamma(x)$
$\text{B.}$ $\beta(x), \gamma(x), \alpha(x)$
$\text{C.}$ $\gamma(x), \beta(x), \alpha(x)$
$\text{D.}$ $\gamma(x), \alpha(x), \beta(x)$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$T$ 为一常数，则下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$ ．
$\text{B.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=2 \int_0^a f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(-x)=f(x)$ ．
$\text{C.}$ 对于任意的 $a, \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期为 $T$ ．
$\text{D.}$ $f(x+T)=f(x) \Leftrightarrow \int_a^x f(x) \mathrm{d} x$ 以 $T$ 为周期．
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x}}$
$\text{A.}$ 无水平渐近线，无铅直渐近线
$\text{B.}$ 有水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{C.}$ 无水平渐近线，有铅直渐近线
$\text{D.}$ 有水平渐近线，无铅直渐近线
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{c}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导且是以 $T$ 为周期的周期函数，又 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上的最大值点，则下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 可能为零也可能小于零
$\text{B.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 总有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^\lambda \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其导函数在 $x=0$ 处连续，则 $\boldsymbol{\lambda}$ 的取值范围是
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\left|x^3-3 x^2\right|$ 的凹凸区间．
求曲线 $y=\frac{2 x^2+x}{\sqrt{x^2+1}}$ 的斜渐近线．
设 $z=f(x)$ 可导，且 $y=f\left(e^x\right) e^{f(x)}+x^{\operatorname{mix}}$ ，求 $y^{\prime}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
$\int \frac{\mathrm{d} x}{2+\cos x}$