单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数 $g$ ，则 ()
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\ln (2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
$\int_0^1 x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right) d x=$
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^p(x+1)} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
已知 $f(x)=\frac{(x+1)^2(x-1)}{x^3(x-2)}$ ，则 $I=\int_{-1}^3 \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^2(x)} \mathrm{d} x=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\int_{-1}^1 d x \int_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}} y \sin \sqrt{x^2+y^2} d y$ ．
己知函数 $g(x)$ 连续，$f(x)=\int_0^{x^2} g(x t) d t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性