单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{B.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．
$\text{C.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{D.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．
设 $f(x)=\int_0^{1-\cos x} \sin t^2 d t, g(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小；
$\text{B.}$ 等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 同阶但不等价无穷小。
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ ．
$\text{B.}$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ ．
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\int f^{\prime}(\cos x) d x=\ln (\sin x)+c$ ，求 $f(x)$ ．
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{d x}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}}$ ．
已知 $\int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} d x=x^2+C$ ，则 $f(x)=$
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.
$\int \frac{1}{x(1+2 \ln x)} d x$
$\int_0^\pi \sqrt{\sin ^3 x-\sin ^5 x} d x$
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$ ．
$\int_1^{e^2} \frac{d x}{x \sqrt{1+\ln x}}$;
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^3 x} d x$;
设 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1+x^2, x < 0 ; \\
e^{-x}, x \geq 0 \text { ．}
\end{array}\right. $
求 $ \int_1^3 f(x-2) d x$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^6 x-\cos ^6 x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x} d x$ ．
已知函数 $f(x)$ 为连续函数，且
$$
\int_0^{2 x} x f(t) d t+2 \int_x^0 t f(2 t) d t=2 x^3(x-1)
$$
求函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值与最小值．
$\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right) \mathrm{d} x$
$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}} d x$
计算定积分 $\int_0^1 e^{\sqrt{3 . x+1}} d x$
$\int_0^3 \frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}} d x$
$\int \frac{x^2-7}{x^2+x-2} d x$ ．
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，1、证明 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ；
2、求 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
已知函数 $f(x)=x \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x)=\int_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^2\right) d t$ ，求 $f^{\prime}(0)$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-x}, & x \geq 0 \\ 1+x^2, & x < 0\end{array}\right.$ ，求 $\int_{\frac{1}{2}}^2 f(x-1) d x$ 。
计算积分（1） $\int \arcsin x d x$ ；
（2） $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\cos k x \sin k x+\sqrt{2-x^2}\right) d x$ ．
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$
$\int_0^2 x^2 \arctan (x-1) \mathrm{d} x$
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}}|f(x)| \mathrm{d} x
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上满足条件 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，且 $f(0)=1 . P$ 为曲线 $f(x)$ 上一点，其横坐标为 $x$ ．曲边三角形 $P A B$（如图阴影部分）面积 $S=\frac{2}{3} x^3$ ，试求 $f(x)$ ．
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ ，
（I）当 $n$ 为正整数，且 $n \pi \leqslant x < (n+1) \pi$ 时，证明： $2 n \leqslant S(x) < 2(n+1)$ ；
（II）求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$ ．
$\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right) \mathrm{d} x$
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x+\cos x} d x$ ．
设 $f \in C(0,+\infty)$ ，并且 $\forall a>0, b>1$ ，都有积分值 $\int_a^{a b} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关，求证：存在常数 $C$ ，使得 $f(x)=\frac{C}{x}, x \in(0,+\infty)$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.