单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t,\end{array}\right.$ 参数为 $t$ ，则 $\left.\frac{ d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $f(x)=x \tan x \mathrm{e}^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 偶函数．
$\text{B.}$ 无界函数．
$\text{C.}$ 周期函数．
$\text{D.}$ 单调函数．
由方程 $x y-e^x+e^y=0$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(0)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内连续，且 $f(a)$ 为其极大值，则存在 $\delta>0$ ，当 $x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有（ ）
$\text{A.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \geqslant 0$ ．
$\text{B.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \leqslant 0$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2}>0(x \neq a)$ ．
$\text{D.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} < 0(x \neq a)$ ．
设 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微，下列命题中，错误命题的个数为 ）．
（1）$f(x)$ 是偶函数，则 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数；
（2）$f^{\prime}(x)$ 是奇函数，则 $f(x)$ 是偶函数；
（3）$f(x)$ 是奇函数，则 $f^{\prime}(x)$ 是偶函数；
（4）$f^{\prime}(x)$ 是偶函数，则 $f(x)$ 是奇函数；
$\text{A.}$ 3；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 1 ；
$\text{D.}$ 0 ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若曲线 $y=a x^3+b x^2$ 的拐点为 $(1,3)$ ，则常数 $a= , b= $
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(1+x^2\right),-\infty < x \leq 1, \\ A \mathrm{e}^{\arctan x}, \quad 1 < x < +\infty,\end{array} f(x)\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $A=$
函数 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 的单调增加区间为
曲线 $y=x+x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos 2 x}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续，则 $a=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
求 $\int \sqrt{x}\left(x^2-5\right) d x$ ．
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$f_{+}(1)=2$ ，在 $(1,+\infty)$ 内 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f_{+}^{\prime}(1)=-3$ ．证明方程 $f(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 内有且仅有一个实根。
设 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 存在，且有 $f(x)=5 x^3+2 x^2-x^{\frac{1}{1-x}} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内只有可去间断点，定义 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), \forall x \in(a, b)$ ，证明 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续
$$
\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x
$$
证明：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ，则至少存在 $\xi \in(0,1)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 区间的最小值和最大值．