解答题 （共 35 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{a x}$ 的通解，其中 $a$ 为实数.
求微分方程 $y^{\prime}+y \cos x=(\ln x) e^{-\sin x}$ 的通解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos x$ 的通解.
求方程 $x y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2+y^2$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=2 e$ 的特解.
求微分方程 $\left(y-x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x e^x$ 的通解.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x^2 .
$$
求微分方程 $\left(x^2-1\right) \mathrm{d} y+(2 x y-\cos x) \mathrm{d} x=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ 的特解.
设二阶常系数线性微分方程
$$
y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^x
$$
的一个特解为 $y=e^{2 x}+(1+x) e^x$ ，试确定常数 $\alpha, \beta, \gamma$ 的值，并求该方程的通解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+a^2 y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$.
设函数 $y=y(x)$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4\end{array}\right.$ ，求广义积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$.
设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 $\left.v\right|_{t=0}=v_0$ ，已知阻力与速度成正比 (比例常数为 1 )，问 $t$ 为多少时此质点的速度为 $\frac{v_0}{3}$ ? 并求到此时刻该质点所经过的路程.
设 $y=e^x$ 是微分方程 $x y^{\prime}+p(x) y=x$ 的一个解，求此微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=\ln 2}=0$ 的特解.
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\int_0^{3 x} f\left(\frac{t}{3}\right) \mathrm{d} t+e^{2 x}$ ，求 $f(x)$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x^2$ 的通解.
设 $f(x)$ 为连续函数.
(1) 求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+a y=f(x) \\ \left.y\right|_{x=0}=0\end{array}\right.$ 的解 $y=y(x)$ ，其中 $a$ 是正常数；
(2) 若 $|f(x)| \leq k(k$ 为常数)，证明：当 $x \geq 0$ 时，有
$$
|y(x)| \leq \frac{k}{a}\left(1-e^{-\alpha x}\right)
$$
求微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$ 的通解.
在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$ ，在 $t=0$ 时刻已掌握新技术人数为 $x_0$ ，在任意时刻 $t$ 已掌握新技术的人数为 $x(t)$ （将 $x(t)$视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 $k>0$ ，求 $x(t)$.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left(e^x \sin y\right)$ 满足方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=e^{2 x} z$ ，求 $f(u)$.
求方程 $\left(3 x^2+2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x+\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解.
已知 $y_1=x e^x+e^{2 x}, y_2=x e^x+e^{-x}, y_3=x e^x$ $+e^{2 x}+e^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.
利用代换 $y=\frac{u}{\cos x}$ 将方程
$$
y^{\prime \prime} \cos x-2 y^{\prime} \sin x+3 y \cos x=e^x
$$
化简，并求出原方程的通解
设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x=t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转
一周所成的旋转体体积为
$$
V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^2 f(t)-f(1)\right]
$$
试求 $y=f(x)$ 所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=2}=\frac{2}{9}$ 的解.
求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0(x>0) \\ \left.y\right|_{x=1}=0\end{array}\right.$ 的解.
设函数 $y(x)(x \geq 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$.过曲线 $y=f(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ，并设 $2 S_1-S_2$ 恒为 1 ，求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
设有微分方程 $y^{\prime}-2 y=\varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 & x < 1 \\ 0 & x>1\end{array}\right.$ ，试求在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数 $y=y(x)$ ，使之在 $(-\infty, 1)$ 和 $(1,+\infty)$ 内都满足所给方程，且 $y(0)=0$.
某湖泊的水量为 $V$ ，每年排入湖泊内含污染物 $A$ 的污水量为 $\frac{V}{6}$ ，流入湖泊内不含 $A$ 的水量为 $\frac{V}{6}$ ，流出湖泊的水量为 $\frac{V}{3}$.已知 1999 年年底湖中 $A$ 的含量为 $5 m_0$ ，超过国家规定指标，为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含 $A$ 污水的浓度不超过 $\frac{m_0}{V}$. 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 $A$ 的含量将至 $m_0$ 以内? (注: 设湖水中 $A$ 的浓度是均匀的.)
求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-e^{2 x}=0$ 满足 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ 的解.
设函数 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $x e^x-y e^y=z e^z$ 所确定，求 $\mathrm{d} u$.
设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数.
(1)将 $x=x(y)$ 所满足的方程 $\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} y^2}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^3=0$变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$的解.
设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数.
(1)试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程
$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} y^2}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^3=0
$$
变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$的解.
设 $F(x)=f(x) g(x)$, 其 中函数 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足以下条件: $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x)$ ，且 $f(0)=0, f(x)+g(x)=2 e^x$.
(1) 求 $\boldsymbol{F}(x)$ 所满足的一阶微分方程;
(2) 求出 $F(x)$ 的表达式.
设 $y=f(x)$ 是第一象限内连接点 $A(0,1), B(1,0)$ 的一段连续曲线， $M(x, y)$ 为该曲线上任意一点，点 $C$ 为 $M$ 在 $x$ 轴上的投影， $O$ 为坐标原点. 若梯形 $O C M A$ 的面积与曲边三角形 $C B M$ 的面积之和为 $\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足
$$
f_u^{\prime}(u, v)+f_v^{\prime}(u, v)=u v .
$$
求 $y(x)=e^{-2 x} f(x, x)$ 所满足的一阶微分方程，并求其通解.
设级数 $\frac{x^4}{2 \cdot 4}+\frac{x^6}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{x^8}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots(-\infty < x$ $ < +\infty)$ 的和函数为 $S(x)$. 求:
（1） $S(x)$ 所满足的一阶微分方程；
(2) $S(x)$ 的表达式.