解答题 （共 35 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用变量代换 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 化简微分方程
$$
\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0 ，
$$
并求其满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的特解.
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
求 $y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=\int_0^{t^2} \ln (1+u) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ 确定，其中 $x(t)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-2 t e^{-x}=0 \\ \left.x\right|_{t=0}=0\end{array}\right.$ 的解，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
设非负函数 $y=y(x)(x \geq 0)$ 满足微分方程
$$
x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0 ，
$$
当曲线 $y=y(x)$ 过原点时，其与直线 $x=1$ 及 $y=0$ 围成平面区域的面积为 2 ，求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积.
设 $y=y(x)$ 是区间 $(-\pi, \pi)$ 内过点 $\left(-\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)$ 的光滑曲线，当 $-\pi < x < 0$ 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 $0 \leq x < \pi$ 时，函数 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+y+x=0$. 求 $y(x)$的表达式.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 x e^x$ 的通解.
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及
$$
f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x,
$$
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f\left(x^2\right) \int_0^x f\left(-t^2\right) \mathrm{d} t$ 的拐点.
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^2+y^2 y^{\prime}=1-y^{\prime}$ ，且 $y(2)=0$ ，求 $y(x)$ 的极大值与极小值.
设 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零，若对任意的 $x_0 \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成的区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$ ，其 中 $0 < k < 1$.
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛；
(2) 若 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ ，求 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值.
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
设函数 $f(x)$ 连续，且满足
$$
\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+e^{-x}-1 ，
$$
求 $f(x)$.
设 $y(x)$ 是区间 $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 内的可导函数，且 $y(1)=0$ ，点 $P$是曲线 $L: y=y(x)$ 上的任意一点， $L$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$轴相交于点 $\left(0, Y_P\right)$ ，法线与 $x$ 轴相交于点 $\left(X_P, 0\right)$ ，若 $X_P=Y_P$ ，求 $L$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足:
$$
x_1>0, x_n e^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1(n=1,2, \cdots) .
$$
证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) 求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点.
函数 $y=y(x)(x>0)$ 满足 $x y^{\prime}-6 y=$ -6 ，且 $y(\sqrt{3})=10$.
(1) 求 $y(x)$ ；
(2) $P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上一点，曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_y$ ，为使得 $I_y$ 最小，求 $P$ 的坐标.
设 $y(x)$ 为微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-9 y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$ 的解.
(1) 利用变换 $x=\mathrm{e}^t$ 将上述方程化为常系数线性方程，并求 $y(x)$ ；
(2) 计算 $\int_1^2 y(x) \sqrt{4-x^2} \mathrm{~d} x$.
设 $f(x)$ 具有二阶连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 且微分方程
$$
\left[x^2 y+x y^2-f(x) y\right] d x+\left[f^{\prime}(x)+x^2 y\right] d y=0
$$
为全微分方程, 则
(I) 求 $f(x)$;
(II) 求该全微分方程的通解。
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导, $f(1)=0$, 且满足
$$
\begin{gathered}
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_1^x f(t) d t=x-1 . \\
\text { 求 } \int_1^2 f(x) d x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x \frac{\sin (t-1)^2}{t-1} d t}{f(x)} .
\end{gathered}
$$
考虑二阶微分方程 $\sin \theta \frac{ d ^2 y}{d \theta^2}+\cos \theta \frac{ d y}{d \theta}+n(n+1) y \sin \theta=0$.
（I ）令 $x=\cos \theta$ ，将上述方程转化为关于 $y, \frac{d y}{d x}$ 以及 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}$ 的二阶微分方程;
（II）设 $u_n(x)=\left(x^2-1\right)^n$ ，其 $n$ 阶导数记为 $p_n(x)$ ，证明 $p_n(x)$ 为第（I) 问中所得方程的一个特解.
设单增光滑曲线 $y=y(x)$ 位于第一象限，当 $x>0$ 时，在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积 $V(x)$ 与该曲边梯形的面积 $S(x)$ 之比为 $\frac{3}{5} \pi y(x)$ ，且曲线 $y=y(x)$ 过点 $(1,1)$, 求曲线 $y=y(x)$ 的方程.
求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程，并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解。
（ I ）求微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y= e ^{3 x}$ 的一个特解 $y=y(x)$ ，使其满足 $y(0)=0$ ，且相应曲线 $y=y(x)$ 在 $(0,0)$ 点处有水平切线；
（II）对于（ I ）中的 $y(x)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(4+2 \tan x)^x-4^x}{y(x)}$ ．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $x^2 y^{\prime}+y=\left(1-x^3\right) e ^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足 $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ 的解．
（ I ）求 $y(x)$ ；
（II）设 $I_a$ 是曲线 $y=y(x)$ 在点 $(a, y(a))$ 处的法线在 $y$ 轴上的截距，证明：当 $a \neq 0$ 时，恒有 $I_a < -a^2-\frac{a^6}{24}$ ．
已知 $y(x)$ 满足 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}+\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x^2} y=0(x>0)$ ，且 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=1$ ．
（I）利用变换 $x= e ^{2 t}$ ，将上述方程化为常系数线性方程，并求 $y(x)$ ；
（II）计算在区间 $[1, e]$ 上，曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴之间的区域面积．
设 $\varphi(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数且 $\Phi^{\prime}(x)=\varphi(x), \Phi(0)=0, \Phi(2 \pi) \neq 0$ ．
（1）求解方程 $y^{\prime}+y \sin x=\varphi(x) \mathrm{e}^{\cos x}$ ；（2）以上方程是否存在以 $2 \pi$ 为周期的解．
设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x \int_0^x[f(t)]^2 \mathrm{~d} t$ ，试求 $f(x)$ 的表达式．
设函数 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f$ 二阶可导，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D \frac{1}{1+s^2+t^2} \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t$ ，其中
$$
D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant x^2+y^2\right\} \text {, 又 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0 \text {. }
$$
（1）试求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；（2）若 $f(0)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^4}$ ．
设函数 $y(x)$ 满足方程
$$
y(x)=x^3-x \int_1^x \frac{y(t)}{t^2} \mathrm{~d} t+y^{\prime}(x), x>0
$$
且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ ．求函数 $y(x)$ ．
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导．且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ，其反函数为 $z(x)$ ．过曲线 $y= y(x)$ 上任意一点 $Q(x, y(x))$ 作该曲线的法线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ 。区间 $[1, y(x)]$ 上以 $y=z(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ．若 $S_1=y^2(x)\left(S_2+1\right)$ 恒成立，求曲线 $y=y(x)$ 的方程．
设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(1-x)=1-f(x)$ ，且 $\int_0^\pi\left[f(x)+(1+x) f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=-2$ ，求 $f(x)$ ．