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概率专项测试

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 设二维随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布，则随机变量

ξ = X + Y

与

η = X - Y

不相关的充分必要条件为

A.

E (X) = E (Y)

B.

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = E (Y^{2}) - [E (Y)]^{2}

C.

E (X^{2}) = E (Y^{2})

D.

E (X^{2}) + [E (X)]^{2} = E (Y^{2}) + [E (Y)]^{2}

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2. 设

A, B, C

三个事件两两独立，则

A, B, C

相互独立的充分必要条件是

X =

A.

A

与

B C

独立

B.

A B

与

A \cup C

独立

C.

A B

与

A C

独立

D.

A \cup B

与

A \cup C

独立

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3. 在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度

t_{0}

，电炉就断电. 以

E

表示事件“电炉断电”，设

T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}

为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件

E

等于事件

A.

{T_{(1)} \geq t_{0}}

B.

{T_{(2)} \geq t_{0}}

C.

{T_{(3)} \geq t_{0}}

D.

{T_{(4)} \geq t_{0}}

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4. 将一枚硬币重复掷

n

次，以

X

和

Y

分别表示正面向上和反面向上的次数，则

X

和

Y

的相关系数等于

A.

-1

B.

C.

\frac{1}{2}

D.

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5. 设

X_{1}

和

X_{2}

是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

f_{1} (x)

和

f_{2} (x)

，分布函数分别为

F_{1} (x)

和

F_{2} (x)

，则

A.

f_{1} (x) + f_{2} (x)

必为某一随机变量的概率密度

B.

f_{1} (x) f_{2} (x)

必为某一随机变量的概率密度

C.

F_{1} (x) + F_{2} (x)

必为某一随机变量的分布函数

D.

F_{1} (x) F_{2} (x)

必为某一随机变量的分布函数

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6. 设随机变量

X

和

Y

都服从标准正态分布，则

A.

X + Y

服从正态分布

B.

X^{2} + Y^{2}

服从

χ^{2}

分布

C.

X^{2}

和

Y^{2}

都服从

χ^{2}

分布

D.

X^{2} / Y^{2}

服从

F

分布

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7. 设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立，

S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

则根据列维一林德柏格中心极限定理，当

n

充分大时，

S_{n}

近似服从正态分布, 只要

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

A.

有相同的数学期望

B.

有相同的方差

C.

服从同一指数分布

D.

服从同一离散型分布

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二、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 设两个相互独立的事件

A

和

B

都不发生的概率为

\frac{1}{9} ， A

发生

B

不发生的概率与

B

发生

A

不发生的概率相等，则

P (A) =

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9. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} 1 / 3, x \in [0, 1] \\ 2 / 9, x \in [3, 6] ， \\ 0, 其他 \end{cases}

若

k

使得

P {X \geq k} = \frac{2}{3}

，则

k

的取值范围是

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10. 假设随机变量

X

在区间

[- 1, 2]

上服从均匀分布，随机变量

Y = {\begin{cases} 1, & X > 0 \\ 0, & X = 0 \\ - 1, & X < 0 \end{cases}

, 则方差

D Y =

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11. 设随机变量

X

的方差是 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计

P {| X - E (X) | \geq 2} \leq

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12. 设随机变量

X, Y

的数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 0.5 . 则根据切比雪夫不等式

P {| X - Y | \geq 6} \leq

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13. 设总体

X

服从正态分布

N (0, {0.2}^{2})

，而

X_{1}, X_{2}, \dots X_{15}

是来自总体

X

的简单随机样本，则随机变量

Y = \frac{X_{1}^{2} + \dots + X_{10}^{2}}{2 (X_{11}^{2} + \dots + X_{15}^{2})}

服从

分布，参数为

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14. 设随机变量

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

，且二次方程

y^{2} + 4 y + X = 0

无实根的概率为

\frac{1}{2}

，则

μ =

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15. 随机变量

X

和

Y

的联合概率分布为

则

X^{2}

和

Y^{2}

的协方差

cov (X^{2}, Y^{2}) =

，

X

和

Y

的相关系数

ρ =

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16. 设总体

X

的概率密度为

f (x, θ) = {\begin{cases} e^{- (x - θ)}, & x \geq θ \\ 0, & x < θ \end{cases}

，而

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，则未知参数

θ

的矩估计量为

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 某流水生产线上每一个产品不合格的概率为

p (0 < p < 1) ，

各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为

X

，求

X

的数学期望

E (X)

和方差

D (X)

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18. 设某种元件的使用寿命

X

的概率密度为

f (x, θ) = {\begin{cases} 2 e^{- 2 (x - θ)}, & x > θ \\ 0, & x \leq θ \end{cases}

其中

θ > 0

为未知参数. 又设

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

是

X

的一组样本观测值，求参数

θ

的最大似然估计.

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19. 假设

0.50, 1.25, 0.80, 2.00

是来自总体

X

的简单随机样本值. 已知

Y = \ln X

服从正态分布

N (μ, 1)

.
(1) 求

X

的数学期望值

E (X)

（记

E (X)

为

b

）；
(2) 求

μ

的置信度为 0.95 的置信区间；
(3) 利用上述结果求

b

的置信度为 0.95 的置信区间.

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20. 设

A, B

是二随机事件，随机变量

试证明随机变量

X

和

Y

不相关的充分必要条件是

A

和

B

相互独立.

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21. 设二维随机变量

(X, Y)

的密度函数为

f (x, y) = \frac{1}{2} [φ_{1} (x, y) + φ_{2} (x, y)]

其中

φ_{1} (x, y)

和

φ_{2} (x, y)

都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为

\frac{1}{3}

和

- \frac{1}{3}

，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 .
(1) 求随机变量

X

和

Y

的密度函数

f_{1} (x)

和

f_{2} (x)

及

X

和

Y

的相关系数

ρ

(可直接利用二维正态密度的性质)
(2) 问

X

和

Y

是否独立? 为什么?

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22. 设某班车起点站上客人数

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为

p (0 < p < 1)

，且中途下车与否相互独立. 以

Y

表示在中途下车的人数，求:
(1) 在发车时有

n

个乘客的条件下，中途有

m

人下车的概率;
(2) 二维随机变量

(X, Y)

的概率分布.

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23. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

，从该总体中抽取简单随机样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{2 n} (n \geq 2)

，其样本均值为

\bar{X} = \frac{1}{2 n} \sum_{i = 1}^{2 n} X_{i}

，求统计量

Y = \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} + X_{n + i} - 2 \bar{X})}^{2}

的数学期望

E (Y)

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24. 设随机变量

X

和

Y

的联合分布在以点

(0, 1), (1, 0), (1, 1)

为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量

U = X + Y

的方差.

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25. 生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于

0.977 . (Φ (2) = 0.977

，其中

Φ (x)

是标准正态分布函数).

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26. 设随机变量

X

和

Y

对联和分布是正方形

G = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 3}

上的均匀分布，试求随机变量

U = | X - Y |

的概率密度

p (u)

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27. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq π \\ 0, & 其他 \end{array}

对

X

独立地重复观察 4 次，用

Y

表示观察值大于

\frac{π}{3}

的次数，求

Y^{2}

的数学期望.

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28. 设总体

X

的概率分布为:

中

θ (0 < θ < \frac{1}{2})

是未知参数，利用总体

X

的如下样本值

3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3

，求

θ

的矩估计值和最大似然估计值

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29. 设

A, B

是任意二事件，其中

A

的概率不等于 0 和 1. 证明:

P (B ∣ A) = P (B ∣ \bar{A})

是事件

A

与

B

独立的充分必要条件.

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30. 假设随机变量

U

在区间

[- 2, 2]

上服从均匀分布，随机变量

X = {\begin{cases} - 1, & U \leq - 1 \\ 1, & U > - 1 \end{cases}, Y = {\begin{cases} - 1, & U \leq 1 \\ 1, & U > 1 \end{cases}

. 试求:
(1)

X

和

Y

的联合概率分布 ;
(2)

D (X + Y)

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31. 假设一设备开机后无故障工作的时间

X

服从指数分布，平均无故障工作的时间

E X

为 5 小时. 设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间

Y

的分布函数

F (y)

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