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智库“题”升（2024.12.9-2024.12.15）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

y = y (x)

在任意点

x

处的增量

Δ y = \frac{y Δ x}{1 + x^{2}} + α ，

且当

Δ x \to 0

时，

α

是

Δ x

的高阶无穷小量，

y (0) = π

，则

y (1)

等于

A.

2 π

B.

π

C.

e^{\frac{π}{4}}

D.

π e^{\frac{π}{4}}

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2. 设

α (x) = \int_{0}^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} (1 + t)^{\frac{1}{t}} d t

，则当

x \to 0

时，

α (x)

是

β (x)

的

A.

高阶无穷小

B.

低阶无穷小

C.

同阶但不等价的无穷小

D.

等价无穷小

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3. 当

x \to 0^{+}

时，与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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4. 函数

f (x) = lim_{t \to 0} {(1 + \frac{\sin t}{x})}^{\frac{x^{2}}{t}}

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

连续

B.

有可去间断点

C.

有跳跃间断点

D.

有无穷间断点

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5. 设

α_{1} = \ln (1 + x) + \ln (1 - x), α_{2} = 2^{x^{4} + x} - 1, α_{3} = \sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + \sin x}

. 当

x \to 0

时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( )

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

B.

α_{2}, α_{1}, α_{3}

C.

α_{1}, α_{3}, α_{2}

D.

α_{2}, α_{3}, α_{1}

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6. 曲线

y = \sqrt{2 x^{2} + 4 x + 1}

的渐近线的条数为 ( )

A.

1 .

B.

2 .

C.

D.

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 当

x \to 0

时，函数

f (x) = a x + b x^{2} + \ln (1 + x)

与

g (x) = e^{x^{2}} - \cos x

是等价无穷小，则

a b =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 证明: 方程

\ln x = \frac{x}{e} - \int_{0}^{π} \sqrt{1 - \cos 2 x} d x

在区间

(0, + \infty)

内有且仅有两个不同实根.

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9. 假设函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内二阶可导，过点

A (0, f (0))

与

B (1, f (1))

的直线与曲线

y = f (x)

相交于点

C (c, f (c))

，其中

0 < c < 1

. 证明：在

(0, 1)

内至少存在一点

ξ

，使

f^{''} (ξ) = 0

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10. 设函数

f (x)

在

[0, π]

上连续，且

\int_{0}^{π} f (x) d x = 0, \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = 0 .

试证: 在

(0, π)

内至少存在两个不同的点

ξ_{1}, ξ_{2}

，使

f (ξ_{1}) = f (ξ_{2}) = 0 .

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11. 设

f (x)

连续可导, 且

f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = π

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (\sin x)}{\tan^{2} x - \sin^{2} x}

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12. 设数列

{x_{n}}

满足

x_{n + 1} = \sqrt{\frac{π}{2} x_{n} \sin x_{n}}

, 且

0 < x_{1} < \frac{π}{2}

. 求

lim_{n \to \infty} \frac{\sec x_{n} - \tan x_{n}}{\frac{π}{2} - x_{n}}

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