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智库“题”升（2024.11.18-2024.11.24）

数学

本试卷共11题。

注意事项:

本次覆盖范围为：函数与极限、导数与微分、中值定理与凹凸性

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 若

f (x) = {\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2} - 1}}, & | x | < 1, \\ x^{4} - b x^{2} + c, & | x | ⩾ 1 \end{cases}

是可微函数, 则

b + c =

A.

B.

C.

D.

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2. 设函数

y = y (x)

由方程

\ln (x^{2} + y^{2}) = \arctan \frac{y}{x}

确定, 且满足

y (1) = 0

, 则

y^{''} (1) =

（　　）

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

D.

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 由方程

y = \cos (x y) - x

所确定的隐函数为

y = f (x)

, 求导数

f^{'} (x)

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 设

y = y (x)

由

x^{3} + 3 x^{2} y - 2 y^{3} = 2

确定, 求

y (x)

的极值.

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5. 计算

lim_{x \to 0} \frac{3 \sin x + x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1 + \cos x) \ln (1 + x)}

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6. 设

b > a > 0

, 证明:

\frac{b - a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b - a}{a}

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lim_{x \to 0} \frac{\sin x - e^{x} + 1}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}} =

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lim_{x \to 0} {(\sin \frac{x}{2} + \cos 2 x)}^{\frac{1}{x}} =

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9. 设

f (x)

在

x = 0

存在二阶导数，且

lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x^{3}} + \frac{f (x)}{x^{2}}) = 0 .

求

f^{'} (0), f^{''} (0)

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10. 设

f (x) = \frac{x^{5}}{(1 - x) (1 + x)}

, 求

f^{(9)} (0)

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11. 若曲线

y = x^{2} + a x + b

与

2 y = x y^{3} - 1

在点

(1, - 1)

处相切, 求常数

a, b

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