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数学补充题目（11.11-11.17）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设在

[0, 1)

上

f (x)

二阶可导，且

f^{''} (x) > 0

，则

A.

f^{'} (0) < f^{'} (1) < f (1) - f (0)

B.

f^{'} (0) < f (1) - f (0) < f^{'} (1)

C.

f^{'} (1) < f^{'} (0) < f (1) - f (0)

D.

f (1) - f (0) < f^{'} (1) < f^{'} (0)

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2. 当

x \to 0^{+}

时,

(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (e + a x + b x^{2})

是比

x^{2}

高阶的无穷小, 则

A.

a = \frac{e}{2}, b = - \frac{11}{24} e

B.

a = - \frac{e}{2}, b = \frac{11}{24} e

C.

a = e, b = \frac{e}{2}

D.

a = e, b = - \frac{e}{2}

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3. 设函数

f (x) = (1 - \cos x) (2 - \cos x) \dots (n - \cos x)

, 则

f^{''} (0) =

A.

(n - 1)

B.

n!

C.

(n + 1)

D.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 2 x^{3}) + x f (x)}{x^{6}} = 3

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 2 x^{2}}{x^{5}} =

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lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{3} + 9} - 6}{2 - \sqrt{x^{3} - 23}} =

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6. 设

f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}

, 则

f^{(n)} (0) =

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 设

y = f (x)

是由方程

\arctan \frac{x}{y} = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}

确定的隐函数, 求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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8. 设

f (x)

在

x = 0

处连续，且

lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (x)}{x} = a, a \in R

. 证明:

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f^{'} (0) = a

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9. 求极限

lim_{x \to \infty} {[\frac{x^{2}}{(x - a) (x + b)}]}^{x}

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10. 设

f (x)

有二阶连续导数, 在

x = 0

的去心邻域内

f (x) \neq 0, lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 0, lim_{x \to 0} {[1 + x + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}} = e^{3}

,求

f^{''} (0)

及

lim_{x \to 0} {[1 + \frac{f (x)}{x}]}^{\frac{1}{x}}

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11. 求

y = x^{\sin x} (x > 0)

的导数

y^{'} (x)

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