单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} d x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$.
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{n t^{n-1}}{1+ e ^{x t}} d t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e ^2$.
$\text{B.}$ $1+ e$.
$\text{C.}$ $\ln (1+ e )$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x^5-x}{x^8+1} d x$
已知正切函数的泰勒展开式为: $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right)$
计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{\frac{1}{x}}-e^2\left(1+\frac{4}{3} x^2\right)}{x^4}$
计算 $\int\left(2 e ^x+\frac{3}{x}\right) d x$;
计算
(1) $\int \frac{1}{1+ e ^{-x}} d x$;
(2) $\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1+x) \sqrt{x}} d x$;
(3) $\int \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^2} d x$;
(4) $\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} d x$;
求下列不定积分
(1) $\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{x}} d x$;
(2) $\int \sqrt{1+ e ^{2 x}} d x$;
求不定积分 $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$.
设连续函数 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 试求不定积分 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
计算
(1) $\int \frac{2 x+1}{x-1} d x$;
(2) $\int \frac{4 x^2-x-3}{2 x+1} d x$;
(3) $\int \frac{2 x^4+x^2+3}{x^2+1} d x$.