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智库“题”升（2024.11.25-2024.12.1)

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

\int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x (1 - x)}} d x =

A.

\frac{π^{2}}{4}

B.

\frac{π^{2}}{8}

C.

\frac{π}{4}

D.

\frac{π}{8}

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2. 若

f (x) = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{1 + e^{x t}} d t

, 则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

A.

e^{2}

B.

1 + e

C.

\ln (1 + e)

D.

\ln 2

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 求定积分

\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 计算不定积分

\int \frac{x^{5} - x}{x^{8} + 1} d x

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5. 已知正切函数的泰勒展开式为:

\tan x = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + o (x^{5})

计算

I = lim_{x \to 0} \frac{{[\tan (x + \frac{π}{4})]}^{\frac{1}{x}} - e^{2} (1 + \frac{4}{3} x^{2})}{x^{4}}

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6. 计算

\int (2 e^{x} + \frac{3}{x}) d x

;

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7. 计算

\int \tan^{2} x d x

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8. 计算
(1)

\int \frac{1}{1 + e^{- x}} d x

;
(2)

\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{(1 + x) \sqrt{x}} d x

;
(3)

\int \frac{1 + \ln x}{(x \ln x)^{2}} d x

;
(4)

\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} d x

;

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9. 求下列不定积分
(1)

\int \frac{1}{(1 + x) \sqrt{x}} d x

;
(2)

\int \sqrt{1 + e^{2 x}} d x

;

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10. 求不定积分

\int \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) d x

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11. 设连续函数

f (x)

的原函数为

\frac{\sin x}{x}

, 试求不定积分

\int x f^{'} (x) d x

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12. 计算
(1)

\int \frac{2 x + 1}{x - 1} d x

;
(2)

\int \frac{4 x^{2} - x - 3}{2 x + 1} d x

;
(3)

\int \frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1} d x

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