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智库“题”升（2024.12.2-2024.12.8）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 若反常积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{a} (1 + x)^{b}} d x

收敛, 则

A.

a < 1

且

b > 1

B.

a > 1

且

b > 1

C.

a < 1

且

a + b > 1

D.

a > 1

且

a + b > 1

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2. 下列广义积分发散的是

A.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sin x} d x

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x^{2}} d x

D.

\int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln^{2} x} d x

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lim_{x \to 1} \frac{\int_{1} \frac{x \ln t}{1 + t} d t}{(x - 1)^{2}} = ()

A.

B.

\infty

C.

\frac{1}{4}

D.

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

\int_{0}^{n π} | \sin x | d x =

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\int_{0}^{π} \frac{1}{2 + \tan^{2} x} d x =

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 计算
(1)

\int x \sin x^{2} d x

;
(2)

\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x

;
(3)

\int \frac{\ln^{2} x}{x} d x

;
(4)

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x

;

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7. 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos x d x

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8. 计算

\int_{0}^{+ \infty} x^{2010} \cdot e^{- x} d x

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