单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$.
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$.
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$.
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$.
下列广义积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} e ^{-x^2} d x$.
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} d x$.
$\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\int_1 \frac{x \ln t}{1+t} d t}{(x-1)^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^{n \pi}|\sin x| d x=$
$\int_0^\pi \frac{1}{2+\tan ^2 x} d x=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
(1) $\int x \sin x^2 d x$;
(2) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$;
(3) $\int \frac{\ln ^2 x}{x} d x$;
(4) $\int x \sqrt{1-x^2} d x$;
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.