一、填空题 （共 40 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
1. 计算行列式 .
2. 设 都是 阶方阵, 且存在非零复数 , 使得 ,
(1) 证明: .
(2) 设 , 当 时, 求 .
3. 含参数 的方程组如下
当参数满足什么条件时, 该方程组有解.
4. 在 3 维欧氏空间 (通常的内积)中建立了右手坐标系, 定义 旋转变换 : 旋转轴为起点在原点的向量 , 旋转角为 (逆时针方向). 即 把全体起 点在原点的向量绕轴转动 .
(1) 求 在 的标准基下的矩阵.
(2) 求 的全部不变子空间.
5. 设矩阵 , 其中 为任意数, 求 的 Jordan 标准形.
6. 设 同为 阶方阵.
(1) 证明: 与 相似.
(2) 证明: 与 有相同的特征多项式.
7. 线性空间 上一个线性变换 称为半单的, 如果对 的每个不变子空间 , 都存在 的不变子空间 , 使得 .
证明: 若 是线性空间 上的半单变换, 是 的一个不变子空间, 则 限制在 上也是 半单的.
8. 设矩阵 , 则 的最大特征值为
9. 5 阶行列式中，项 前面的符号为
10. 设 是 的第 4 行元素的代数余子式，则 等 于
11. 设 ， 为 矩阵，且 ，则
12. 若向量组 线性 相关，则
13. 设 是 3 阶实的对称矩阵， 是线性方程组 的解， 是线性方程组 的 解，则常数
14. 设 和 是 3 阶方阵， 的 3 个特征值分别为 ， 若 ，则行列式
15. 设 , 则二次型 的正惯性指数为
16. , 则
17. 行列式
18. 线性方程组 无解的充要条件是
19. 向量 在 下的坐标是 , 则 在 下的坐标是
20. 是正定二次型的充要条件是
21. 设 为 2 阶矩阵, 是矩阵 分别属于特征值 0,2 的特征向量, 则方程组 的通解为
22. 设矩阵 且 不可相似对角化, 则
23. 设 3 阶对称矩阵 的第一行元素为 , 第一行元素的代数余子式为 , 则方程组 的解为
24. 若二次型 是正定的, 则 的取值为
25. 设 是 阶可逆实矩阵, 且 为奇数, 为 在行列式 中的代数余子式, 若 , 则行列式
26. 多项式 在有理数域 上的标准分解式为
27. 设线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为 , 则 在基 , 下的矩阵为
28. 设 是欧氏空间 的一组标准正交基, , 已知 , , 则向量 的夹角为
29. 设矩阵 的初等因子组为 , 则 的最小多项式为
30. 设 且 , 则
31. 设方阵 满足方程 , 则
32. 行列式 中第 1 行元素的代数余子式之和为
33. 设 4 阶方阵 , 且 , 方阵 ,
则
34. 若矩阵 与矩阵 相似, 则
35. 已知三阶方阵 的三个特征值为 , 则行列式
36. 已知二次型 正定, 则 的取值范围为
37. 已知二阶方阵 的特征值为 1 和 -1 , 对应的特征向量为 和 , 则
38. 已知 是矩阵 的特征值, 是 的伴随矩阵, 则齐次方程组 0 的通解是
39. 行列式
40. 设 阶矩阵 ，其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 , 则行列式