单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $a b=0$
$\text{D.}$ $a b=2$
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点
$\text{A.}$ $(0,0)$
$\text{B.}$ $(0,3)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(1,1)$
设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$
若级数 $\sum_{n=2}^{\infty}\left[\sin \frac{1}{n}-k \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛，则 $k=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
设 $\alpha$ 为 $\boldsymbol{n}$ 维单位列向量， $E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $E-\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{B.}$ $E+\alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{C.}$ $E+2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
$\text{D.}$ $E-2 \alpha \alpha^T$ 不可逆
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立， $B$ 与 $C$相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充要条件是
$\text{A.}$ ${A}$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
设 $X_1, X_2 \ldots \ldots X_n(n \geq 2)$ 来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ，则下列结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{B.}$ $2\left(X_n-X_1\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $n(\bar{X}-\mu)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\pi}^\pi\left(\sin ^3 x+\sqrt{\pi^2-x^2}\right) \mathrm{d} x=$
差分方程 $y_{t+1}-2 y_t=2^t$ 的通解 $y_t=$
设生产某产品的平均成本 $\bar{C}(Q)=1+e^{-Q}$ ，其中 $Q$ 为产量，则边际成本为
设函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，
$$
\mathrm{d} f(x, y)=y e^y \mathrm{~d} x+x(1+y) e^y \mathrm{~d} y, f(0,0)=0 ，
$$
则 $f(x, y)=$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right], \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 $\boldsymbol{A} \alpha_1, \boldsymbol{A} \alpha_2, A \alpha_3$ 的秩为
设随机变量 $X$ 的概率分布为
$$
P\{X=-2\}=\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b ，
$$
若 $\boldsymbol{E X}=0$ ，则 $D \boldsymbol{X}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^x \sqrt{x-t} e^t \mathrm{~d} t}{\sqrt{x^3}}$.
计算积分 $\iint_D \frac{y^3}{\left(1+x^2+y^4\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴边界的无界区域。
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.
已知方程 $\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 内有实根，求 $k$ 的范围.
若 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(n a_n+a_{n-1}\right)$ ， $(n=1,2,3, \cdots) ， S(x)$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数
(1) 证明 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径不小于 1 ；
(2) 证明 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0(x \in(-1,1))$ ，并求 $S(x)$ 的表达式
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$.
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为 $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2$. 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2},
$$
$Y$ 的概率概率密度为 $f(y)=\left\{\begin{array}{l}2 y, 0 < y < 1, \\ 0, \text { 其他. }\end{array}\right.$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 $\boldsymbol{n}$ 次测量，该物体的质量 $\boldsymbol{\mu}$ 是已知的，设 $\boldsymbol{n}$ 次测量结果 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，该工程师记录的是 $\boldsymbol{n}$ 次测量的绝对误差
$$
Z_i=\left|X_i-\mu\right|(i=1,2, \cdots, n)
$$
利用 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 估计 $\sigma$.
(1)求 $Z_i$ 的概率密度；
(2)利用一阶矩求 $\sigma$ 的矩估计量；
(III)求 $\sigma$ 的最大似然估计量.