单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
$\text{A.}$ $x f\left(x^2\right)$
$\text{B.}$ $-x f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $-x f\left(x^2\right)$
函数 $f(x)=\left(x^2-x-2\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数是
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha ，$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量， $y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的，则两直线
$$
\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}, \frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}=\frac{z-c_1}{c_2-c_3}
$$
$\text{A.}$ 相交于一点
$\text{B.}$ 重合
$\text{C.}$ 平行但不重合
$\text{D.}$ 异面
设 $A, B$ 是两个随机事件，且
$$
0 < P(A) < 1, P(B)>0, P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A}) \text { ， }
$$
则必有
$\text{A.}$ $P(A \mid B)=P(\bar{A} \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A \mid B) \neq P(\bar{A} \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A B) \neq P(A) P(B)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2}=$
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y)$ ，其中 $f, \varphi$ 具有二阶连续导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长记为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} s=$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $|A| \neq 0 ， A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $A$ 有特征值 $\boldsymbol{\lambda}$ ，则 $\left(A^*\right)^2+E$ 必有特征值
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0, x=1, x=e^2$所围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z$ $-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程，并求 $L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程
确定常数 $\lambda$ ，使在右半平面 $x>0$ 上的向量
$$
\vec{A}(x, y)=2 x y\left(x^4+y^2\right)^\lambda \vec{i}-x^2\left(x^4+y^2\right)^\lambda \vec{j}
$$
为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度，并求 $u(x, y)$.
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起)与下沉速度 $v$ 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$, 体积为 $B$ ，海水比重为 $\rho$ ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 $k(k>0)$. 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程，并求出函数关系式 $y=y(v)$
计算 $\iint_{\Sigma} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1 / 2}}$ ，其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的上侧， $a$ 为大于零的常数.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\ldots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减少，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散，试问级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_n+1}\right)^n$ 是否收敛? 并说明理由.
设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证: 存在 $x_0 \in(0,1)$ ，使得在区间 $\left[0, x_0\right]$ 上以 $f\left(x_0\right)$ 为高的矩形面积等于在区间 $\left[x_0, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>-\frac{2 f(x)}{x}$ ，证明(1)中的 $x_0$ 是唯一的.
已知二次曲面方程
$$
x^2+a y^2+z^2+2 b x y+2 x z+2 y z=4
$$
可经过正交变换 $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}\xi \\ \eta \\ \zeta\end{array}\right)$ 化为椭圆柱面方程 $\eta^2+4 \zeta^2=4$ ，求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $P$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在正整数 $k$ ，使线性方程组 $A^k x=0$ 有解向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，且 $\boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha} \neq 0$.
证明: 向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \cdots, \boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}$ 是线性无关的.
已知线性方程组
(I) $\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\ldots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0\end{array}\right.$
的一个基础解系为 $\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^T,\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^T$, $\cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^T$ ，试写出线性方程组
(II) $\left\{\begin{array}{l}b_{11} y_1+b_{12} y_2+\ldots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\ b_{21} y_1+b_{22} y_2+\ldots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\ldots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0\end{array}\right.$
的通解，并说明理由.
设两个随机变量 $X, Y$ 相互独立，且都服从均值为 0 、方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布，求随机变量 $|X-Y|$ 的方差.
从正态总体 $N\left(3.4,6^2\right)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本，如果要求其样本均值位于区间 $(1.4,5.4)$ 内的概率不小于 0.95 ，问样本容量 $n$ 至少应取多大?
附表: 标准正态分布表 $\Phi(z)=\int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{~d} t$
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 并给出检验过程.
附表: $t$ 分布表 $P\left\{t(n) \leq t_p(n)\right\}=p$
