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设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在正整数 $k$ ，使线性方程组 $A^k x=0$ 有解向量 $\boldsymbol{\alpha}$ ，且 $\boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha} \neq 0$.
证明: 向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \cdots, \boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}$ 是线性无关的.
                        
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