湖南师大附中2024届高三月考试卷

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湖南师大附中2024届高三月考试卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知全集

U = A \cup B = {x \in N ∣ 0 ⩽ x ⩽ 10}, A \cap (∁_{U} B) = {1, 3, 5, 7}

, 则集合

B = ()

A.

B.

C.

D.

不确定

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2. 已知

i

是虚数单位,

i - 1

是关于

x

的方程

x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)

的一个根,则

p + q =

A.

B.

-4

C.

D.

-2

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3. 已知函数

f (x)

满足

f (- x) - f (x) = 0

, 且在

[0, + \infty)

上单调递减, 对于实数

a, b

, 则 “

a^{2} < b^{2}

” 是 “

f (a) >

f (b)

” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 图 1 是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图, 它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成. 可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成, 且这三个菱形不在一个平面上. 研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形, 图 2 是一个菱形十二面体, 它是由十二个相同的菱形围成的几何体,也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱椎 (如图 3), 且平面

A B C D

与平面

A T B S

的夹角为

45^{\circ}

,则

\cos ∠ A S B =

A.

\frac{\sqrt{2}}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

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5. 在

△ A B C

中, 角

A

为

\frac{π}{3}

, 角

A

的平分线

A D

交

B C

于点

D

, 已知

A D = 2 \sqrt{3}

, 且

λ \vec{A B} = \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A C} (λ \in R)

,则

\vec{A B} \cdot \vec{A D} =

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

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6. 有甲、乙等五人到三家企业去应聘, 若每人至多被一家企业录用, 每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用,则不同的录用情况种数是

A.

B.

114

C.

278

D.

336

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7. 设椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 直线

l

过点

F_{1}

. 若点

F_{2}

关于

l

的对称点

P

恰好在椭圆

C

上, 且

\vec{F_{1} P} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} a^{2}

, 则

C

的离心率为

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{2}{5}

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8. 已知正数

a, b, c

满足

e^{a} = b = \ln c

e

为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是

A.

a + c < 2 b

B.

a + c > 2 b

C.

a c < b^{2}

D.

a c > b^{2}

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 一口袋中有除颜色外完全相同的 3 个红球和 2 个白球, 从中无放回的随机取两次,每次取 1 个球,记事件

A_{1}

: 第一次取出的是红球; 事件

A_{2}

: 第一次取出的是白球;事件

B

:取出的两球同色;事件

C

:取出的两球中至少有一个红球,则

A.

事件

A_{1}, A_{2}

为互斥事件

B.

事件

B, C

为独立事件

C.

P (B) = \frac{2}{5}

D.

P (C ∣ A_{2}) = \frac{3}{4}

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10. 已知等比数列

{a_{n}}

的公比为

q

, 其前

n

项的积为

T_{n}

, 且满足

a_{1} > 1, a_{99} a_{100} - 1 > 0, \frac{a_{99} - 1}{a_{100} - 1} < 0

, 则

A.

0 < q < 1

B.

a_{99} a_{101} - 1 < 0

C.

T_{100}

的值是

T_{n}

中最大的

D.

使

T_{n} > 1

成立的最大正整数数

n

的值为 198

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11. 在长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A B = A A_{1} = 2, A D = 1, E

为

A_{1} B_{1}

的中点, 点

P

满足

\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}} (0 < λ

< 1

), 则

A.

若

M

为

A_{1} D

的中点, 则三梭椎

P - B E M

体积为定值

B.

存在点

P

使得

A P ⊥ B E

C.

当

λ = \frac{2}{3}

时,平面

P B C

截长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

所得截面的面积为

\sqrt{5}

D.

若

Q

为长方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

外接球上一点,

λ = 2

, 则

Q E + Q P

的最小值为

\sqrt{14}

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三、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 若直线

a x - b y + 2 = 0 (a > 0, b > 0)

被圆

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0

所截得的弦长为 4 , 则

\frac{2}{a} + \frac{3}{b}

的最小值为

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13. 已知函数

f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)

在区间

[- 1, 1]

上的值域为

[m, n]

, 且

n - m = 3

, 则

ω

的值为

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14. 正整数

a 、 b

满足

2 < 2 a < b

, 若关于

x 、 y

的方程组

{\begin{cases} y = - 2 x + 2024, \\ y = | x - 1 | + | x - a | + | x - b | \end{cases}

有且只有一组解, 则

a

的最大值为

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15. 已知数列

{a_{n}}

中,

a_{2} = 1

, 设

S_{n}

为

{a_{n}}

前

n

项和,

2 S_{n} = n a_{n}

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 若

b_{n} = \frac{\sin 1}{\cos (a_{n} + 1) \cos (a_{n + 1} + 1)}

, 求数列

{b_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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16. 某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 设

A =

“患有地方性疾病”,

B =

“卫生习惯良好”. 据临床统计显示,

P (A ∣ \bar{B}) = \frac{3}{4}, P (B ∣ \bar{A}) = \frac{12}{13}

,该地人群中卫生习惯良好的概率为

\frac{4}{5}

.
(1) 求

P (A)

和

P (A ∣ B)

;
(2) 为进一步验证 (1) 中的判断,该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为

m (m \in N^{*})

的样本, 利用独立性检验, 计算得

χ^{2} = 2.640

. 为提高检验结论的可靠性, 现将样本容量调整为原来的

k (k \in N^{*})

倍, 使得能有

99.9 %

的把握肯定 (1) 中的判断, 试确定

k

的最小值.
附表及公式:

χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d

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17. 已知

f (x) = x^{2} - 2 m \ln x - 1

.
(1) 若

f (x)

的最小值为 0 , 求

m

的值;
(2) 若

a e^{x^{2} - 1} - 1 ⩾ 2 \ln x - \ln a

恒成立,求实数

a

的取值范围.

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18. 已知

M, N

为椭圆

C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)

和双曲线

C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1

的公共顶点,

e_{1}, e_{2}

分别为

C_{1}

和

C_{2}

的离心率.
(1) 若

e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}

.
(i) 求

C_{2}

的渐近线方程;
(ii) 过点

G (4, 0)

的直线

l

交

C_{2}

的右支于

A, B

两点, 直线

M A, M B

与直线

x = 1

相交于

A_{1}, B_{1}

两点, 记

A, B, A_{1}, B_{1}

的坐标分别为

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})

, 求证:

\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}

;
(2) 从

C_{2}

上的动点

P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)

引

C_{1}

的两条切线, 经过两个切点的直线与

C_{2}

的两条渐近线围成三角形的面积为

S

, 试判断

S

是否为定值? 若是, 请求出该定值; 若不是, 请说明理由.

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19. 对于空间向量

\vec{m} = (a, b, c)

, 定义

∥ \vec{m} ∥ = max {| a |, | b |, | c |}

, 其中

max {x, y, z}

表示

x, y, z

这三个数的最大值.
(1) 已知

\vec{a} = (6, \frac{11}{2}, 1), \vec{b} = (x, \frac{1}{2} x, - x)

.
①写出

∥ \vec{a} ∥

,写出

∥ \vec{b} ∥

(用含

x

的式子表示);
②当

0 ⩽ x ⩽ 4

, 写出

∥ \vec{a} - \vec{b} ∥

的最小值及此时

x

的值;
(2) 设

\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})

, 求证:

∥ \vec{a} + \vec{b} ∥ ⩽ ∥ \vec{a} ∥ + ∥ \vec{b} ∥

(3) 在空间直角坐标系

O - x y z

中,

A (2, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6)

, 点

P

是以

O

为球心, 1 为半径的球面上的动点, 点

Q

是

△ A B C

内部的动点, 直接写出

∥ \vec{P Q} ∥

的最小值及相应的点

P

的坐标.

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