设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 直线 $l$ 过点 $F_1$. 若点 $F_2$ 关于 $l$ 的对称点 $P$恰好在椭圆 $C$ 上, 且 $\overrightarrow{F_1 P} \cdot \overrightarrow{F_1 F_2}=\frac{1}{2} a^2$, 则 $C$ 的离心率为
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{5}$