已知 $M, N$ 为椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>0)$ 和双曲线 $C_2: \frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的公共顶点, $\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2$ 分别为 $C_1$ 和 $C_2$ 的离心率.
(1) 若 $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=\frac{\sqrt{15}}{4}$.
(i) 求 $C_2$ 的渐近线方程;
(ii) 过点 $G(4,0)$ 的直线 $l$ 交 $C_2$ 的右支于 $A, B$ 两点, 直线 $M A, M B$ 与直线 $x=1$ 相交于 $A_1, B_1$ 两点, 记 $A, B, A_1, B_1$ 的坐标分别为 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right),\left(x_3, y_3\right),\left(x_4, y_4\right)$, 求证: $\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}$;
(2) 从 $C_2$ 上的动点 $P\left(x_0, y_0\right)\left(x_0 \neq \pm a\right)$ 引 $C_1$ 的两条切线, 经过两个切点的直线与 $C_2$ 的两条渐近线围成三角形的面积为 $S$, 试判断 $S$ 是否为定值? 若是, 请求出该定值; 若不是, 请说明理由.