某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 设 $A=$ “患有地方性疾病”, $B=$ “卫生习惯良好”. 据临床统计显示, $P(A \mid \bar{B})=\frac{3}{4}, P(B \mid \bar{A})=\frac{12}{13}$,该地人群中卫生习惯良好的概率为 $\frac{4}{5}$.
(1) 求 $P(A)$ 和 $P(A \mid B)$;
(2) 为进一步验证 (1) 中的判断,该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为 $m\left(m \in N^*\right)$ 的样本, 利用独立性检验, 计算得 $\chi^2=2.640$. 为提高检验结论的可靠性, 现将样本容量调整为原来的 $k\left(k \in N^*\right)$ 倍, 使得能有 $99.9 \%$ 的把握肯定 (1) 中的判断, 试确定 $k$ 的最小值.
附表及公式: $\chi^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, n=a+b+c+d$