单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $a_n=\frac{(-1)^{[\cos 2 n]}}{n}$, 其中 $n$ 为正整数, $[\cos 2 n]$ 表示不超过 $\cos 2 n$ 的最大整数, 则数列 $\left\{a_n\right\}$
$\text{A.}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$, 有最小值 -1 .
$\text{B.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 有最大值 $\frac{1}{3}$, 有最小值 -1 .
设 $0 < a < 1, I_1=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{a x}-1}{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\sqrt{a x}+1}{\sqrt{x}+1} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < a < I_2$.
$\text{B.}$ $I_2 < a < I_1$.
$\text{C.}$ $a < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < a$.
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可经初等行变换化为 $\boldsymbol{B}$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{B.}$ 方程组 $B x=0$ 与 $A A^{\mathrm{r}} x=0$ 同解.
$\text{C.}$ 方程组 $A^{\mathrm{T}} A x=0$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
设 $A, B$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & A\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & B-A \\ O & B\end{array}\right)$ 相似.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_3^2-2 x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a^2 x_2 x_3$, 则二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 在可逆线性变换下不可能化为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭圆柱面.
$\text{D.}$ 双曲柱面.
设 $A, B$ 为两个随机事件, $0 < P(A)=p < 1,0 < P(B)=q < 1$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B) \leqslant \frac{p}{q}$.
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \mid B) \leqslant \frac{P}{q}$.
$\text{C.}$ $P(A \mid B) \geqslant 1+\frac{p-1}{q}$.
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid B) \geqslant 1-\frac{P}{q}$.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 数 $u_\alpha$满足 $P\left\{Y>u_a\right\}=\alpha$. 若 $P\{|X| < x\}=\alpha$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{a}{2}}$.
$\text{B.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{\alpha}{2}}-1\right)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{1-\alpha}{2}}-1\right)$.
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布, 其中 $X_i(i=1,2, \cdots)$ 服从参数为 $2, \frac{1}{2}$ 的二项分布 $B\left(2, \frac{1}{2}\right)$. 若当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 依概率收敛于 $a_k(k=1,2,3)$, 则 $a_1+a_2+a_3=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 7
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \arctan 2 x}-\frac{1}{2 \sin ^2 x}\right)=$
已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{(1-x)^4}$, 则 $f^{(5)}(0)=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 且当 $x \in(-\pi, \pi)$ 时, $f(x)=x \sin x$. 若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$, 则 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n=$
设曲线积分 $\int_L f^{\prime}(x) \mathrm{d} y-4 y f(x) \mathrm{d} x$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 并且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)-1$ 存在, 则 $f(x)=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶非零矩阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为其伴随矩阵, $A_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{j i}=1$ $(i, j=1,2,3)$, 则 $\left|A^2-\left(A^*\right)^2\right|=$
记半圆盘 $x^2+y^2 \leqslant 4(y \geqslant 0)$ 中到 $x$ 轴的距离不超过 $\sqrt{2}$ 的点所构成的区域为 $D$. 向区域 $D$ 中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到 $x$ 轴的距离为半径作圆 $C$. 记圆 $C$ 的面积为 $S$,则 $E(S)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a$ 过点 $(1,1)$.
(I) 求该曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程;
(II) 求该曲线的弧长 $s$.
设函数 $z(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} z=\mathrm{e}^{a x}\left(x y+y+2 y^2\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{a x}(2 b y+x) \mathrm{d} y$, 且 $z(0,0)=0$.
(I) 求 $a, b$;
(II) 求 $z(x, y)$ 的极值.
设 $L$ 为 $y O z$ 面上的一条曲线,其方程为 $z=\sqrt{4 y-y^2-3}$, 记 $L$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得曲面为 $\Sigma$.
(I) 求 $\Sigma$ 的方程;
(II) 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+\sin x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^2+3 \cos x y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+3 z(1+x \sin x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f_n(x)=\int_0^x(|t-1|-|t|) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$.
(I) 求 $f_n(x)$ 的最大值点;
(II) 记 $\max _{-\pi \leqslant x \leqslant \pi} f_n(x)=a_n$, 证明: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛, 且级数和小于 $\frac{3}{2} \ln 3-2 \ln 2$.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 1 \\ 8 & -5 & 2 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值以及 $A$ 的全部特征向量;
(II) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, 证明: $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$, $\alpha_3$ 线性无关.
设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{y}, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$, 二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x y, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(I) 判断 $X, Y$ 是否相互独立;
(II) 求 $Z=\sqrt{X^2+Y}$ 的分布函数.