单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若集合 $A=\left\{x \mid \log _3 x \leq 1\right\}, B=\{x \mid x \leq 2\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(-\infty, 3]$
$\text{B.}$ $(-\infty, 2]$
$\text{C.}$ $(0,2]$
$\text{D.}$ $(0,3]$
若复数 $z$ 满足 $(3+4 \mathrm{i}) z=2+\mathrm{i}$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
已知向量 $\vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-1, x)$, 则 “ $(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\vec{a}-\vec{b})$ ” 是 “ $x=2 \sqrt{3}$ ” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 已知随机变量 $X \sim B\left(6, \frac{1}{2}\right)$, 则 $D(2 X-1)=6$
$\text{B.}$ 已知随机变量 $\xi \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 若函数 $f(x)=P(x-1 < \xi < x+1)$ 为偶函数, 则 $\mu=0$
$\text{C.}$ 数据 $1,3,4,5,7,8,10$ 的第 80 百分位数是 8
$\text{D.}$ 样本甲中有 $m$ 件样品, 其方差为 $s_1^2$, 样本乙中有 $n$ 件样品, 其方差为 $s_2^2$, 则由甲乙组成的总体样本的方差为 $\frac{m}{m+n} \cdot s_1^2+\frac{n}{m+n} \cdot s_2^2$
已知 $\alpha \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, 且 $\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=3 \cos 2 \alpha$, 则 $\sin 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{6}$
已知 $S_n$ 是等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $S_2=3, S_6=5 S_4-12$, 则 $S_4=$
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 13
$\text{C.}$ 15
$\text{D.}$ 17
设函数 $f(x)=\sqrt{3} \cos \omega x+\sin \omega x$, 且函数 $g(x)=[f(x)]^2-4$ 在 $x \in[0,5 \pi]$ 恰好有 5 个零点,则正实数 $\omega$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[\frac{13}{15}, \frac{16}{15}\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{5}{6}, \frac{31}{30}\right)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{11}{15}, \frac{14}{15}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{23}{30}, \frac{29}{30}\right)$
四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形, 点 $E 、 F$ 分别为 $P C 、 A D$ 的中点, 连接 $B F$ 交 $C D$ 的延长线于点 $G$, 平面 $B G E$ 将四棱雉 $P-A B C D$ 分成两部分的体积分别为 $V_1, V_2$ 且满足 $V_1>V_2$, 则 $\frac{V_1}{V_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{4}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知直线 $l: m x+y-1-2 m=0$ 与圆 $O: x^2+y^2=r^2$ 有两个不同的公共点 $A, B$, 则
$\text{A.}$ 直线 $l$ 过定点 $(2,1)$
$\text{B.}$ 当 $r=4$ 时, 线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$
$\text{C.}$ 半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$
$\text{D.}$ 当 $r=4$ 时, $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 有最小值为 -16
已知函数 $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象关于原点对称
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 对称
$\text{D.}$ $f(x)$ 的最小值为 2
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的动点 (不含端点), 且 $A E=B F$,则
$\text{A.}$ $A_1 F$ 与 $A D$ 的距离是定值
$\text{B.}$ 存在点 $F$ 使得 $A_1 F$ 和平面 $A C D_1$ 平行
$\text{C.}$ $A_1 F \perp C_1 E$
$\text{D.}$ 三棱椎 $B_1-B E F$ 的外接球体积有最小值
已知函数 $f(x)=x^3-6 x^2+9 x$, 若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=f\left(x_3\right)$, 其中 $x_1 < x_2 < x_3$, 则
$\text{A.}$ $1 < x_1 < 2$
$\text{B.}$ $x_1+x_2>2$
$\text{C.}$ $2 x_2+x_3>6$
$\text{D.}$ $0 < x_1 x_2 x_3 < 4$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$(x-2 y)^5$ 展开式中 $x^4 y$ 的系数为
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $f(x+1)$ 为偶函数, $f(x-1)$ 为奇函数, 当 $x \in[-1,1]$时, $f(x)=1-x^2$, 则 $\sum_{k=1}^{2023} f(k)=$
已知函数 $f(x)=\ln x, g(x)=\frac{x^2}{4}$, 写出斜率大于 $\frac{1}{2}$ 且与函数 $y=f(x), y=g(x)$ 的图象均相切的直线 $l$ 的方程:
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2, O$ 为坐标原点, $A, B$ 为 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的两点, 且 $A F_1 / / B F_2, \angle A F_1 F_2=60^{\circ}$. 记 $A F_2, B F_1$ 交点为 $P$, 过点 $P$ 作 $P Q / / A F_1$, 交 $x$ 轴于点 $Q$. 若 $|O Q|=2|P Q|$, 则双曲线 $C$ 的离心率是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos A}=\frac{\cos B-\cos A}{\sin C}$.
(1) 求 $\sin A$;
(2) 若点 $D$ 在边 $B C$ 上, $B D=2 D C, c=2 b, A D=2$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
如图, 多面体 $A B C D E F$ 中, 四边形 $A B C D$ 为正方形, 平面 $A B C D \perp$ 平面 $A D E F$, $E F / / A D, A F=A D=2, E F=1, C F=2 \sqrt{3}, B E$ 与 $C F$ 交于点 $M$.
(1) 若 $N$ 是 $B F$ 中点, 求证: $A N \perp C F$;
(2) 求直线 $M D$ 和平面 $A B E$ 所成角的正弦值.
某大学生创客实践基地, 甲、乙两个团队生产同种创新产品, 现对其生产的产品进行质量检验.
(1) 为测试其生产水准, 从甲、乙生产的产品中各抽检 15 个样本, 评估结果如下图:现将 “一、二、三等” 视为产品质量合格, 其余为产品质量不合格, 请完善 $2 \times 2$ 列联表,并说明是否有 $95 \%$ 的把握认为 “产品质量”与 “生产团队” 有关.
附: $K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, n=a+b+c+d$.
（2）将甲乙生产的产品各自进行包装, 每 5 个产品包装为一袋, 现从中抽取一袋检测 (假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为 $\frac{3}{5}$, 来自乙生产的概率为 $\frac{2}{5}$ ), 检测结果显示这袋产品中恰有 4 件合格品, 求该袋产品由甲团队生产的概率 (以 (1) 中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.
已知函数 $f(x)=x \cos x+a \sin x$.
(1) 若 $a=-1$, 证明: 当 $0 < x < 1$ 时, $f(x)>-\frac{x^3}{3}$;
(2) 求所有的实数 $a$, 使得函数 $y=f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上单调.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$;
(1) 若 $a_2+a_4=a_3^2$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\sqrt{a_{n+1}^2-2 a_n-3}, n \in \mathrm{N}^*$, 且 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列, 记 $T_n$ 是数列 $\left\{\frac{1}{a_n b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 对任意 $n \in \mathrm{N}^*$, 不等式 $4 T_n < \lambda$ 恒成立, 求整数 $\lambda$ 的最小值.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x \quad(0 < p < 5)$ 上一点 $M$ 的纵坐标为 3 , 点 $M$ 到焦点距离为 5 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(1,0)$ 作直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过点 $A, B$ 分别作 $C$ 的切线 $l_1$ 与 $l_2, l_1$ 与
$l_2$ 相交于点 $D$, 过点 $A$ 作直线 $l_3$ 垂直于 $l_1$, 过点 $B$ 作直线 $l_4$ 垂直于 $l_2, l_3$ 与 $l_4$ 相交于点 $E$,
$l_1 、 l_2 、 l_3 、 l_4$ 分别与 $x$ 轴交于点 $P 、 Q 、 R 、 S$. 记 $\triangle D P Q 、 \triangle D A B 、 \triangle E A B 、 \triangle E R S$ 的面积分别为 $S_1 、 S_2 、 S_3 、 S_4$. 若 $S_1 S_2=4 S_3 S_4$, 求直线 $A B$ 的方程.