单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列实数中, 最大的数是 ( )
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $|-2|$
$\text{D.}$ 3
据国家卫生健康委员会发布, 截至 2021 年 5 月 23 日, 31 个省（区、 市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 $51085.8$ 万剂次， 将 “ $51085.8$ 万” 用科学记数法表示为
$\text{A.}$ $0.510858 \times 10^{9}$
$\text{B.}$ $51.0858 \times 10^{7}$
$\text{C.}$ $5.10858 \times 10^{4}$
$\text{D.}$ $5.10858 \times 10^{8}$
同时郑两枚质地均匀的骰子, 则两枚骰子向上的点数之和为 7 的概 率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知 $9^{m}=3,27^{n}=4$, 则 $3^{2 m+3 n}=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 12
若 $|a-\sqrt{3}|+\sqrt{9 a^{2}-12 a b+4 b^{2}}=0$, 则 $a b=(\quad)$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 9
下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 为圆上一点, $A C=3, \angle A B C$ 的平 分线交 $A C$ 于点 $D, C D=1$, 则 $\odot O$ 的直径为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 6- $\sqrt{10}$ 的整数部分为 $a$, 小数部分为 $b$, 则 $(2 a+\sqrt{10}) b$ 的值是
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ $2 \sqrt{10}$
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ $9 \sqrt{10}$
我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式, 此公式与古希腊几何学
家海伦提出的公式如出一辙, 即三角形的三边长分别为 $a, b, c$, 记 $p=\frac{a+b+c}{2}$, 则其面 积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. 这个公式也被称为海伦 - 秦九韶公式. 若 $p=5, c=4$, 则此三角形面积的最大值为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ 5
设 $O$ 为坐标原点, 点 $A 、 B$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上的两个动点, 且 $O A \perp O B$. 连接点 $A 、 B$, 过 $O$ 作 $O C \perp A B$ 于点 $C$, 则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+2 y=-2 \\ 2 x+y=2\end{array}\right.$ 的解为
把抛物线 $y=2 x^{2}+1$ 向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 3 个单位长度, 得到的拋物线的解 析式为
如图, 等腰直角三角形 $A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, B C=4$. 分别以点 $B$ 、点 $C$ 为圆心, 线段 $B C$ 长的一半为半径作圆弧, 交 $A B 、 B C 、 A C$ 于点 $D 、 E 、 F$, 则图中阴影部分的面积为
若一元二次方程 $x^{2}+b x+c=0$ ( $b, c$ 为常数) 的两根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $-3 < x_{1} < -1,1 < x_{2} < 3$, 则 符合条件的一个方程为
若 $x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$ 且 $0 < x < 1$, 则 $x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=$
如图, 在 $\square A B C D$ 中, $A D=5, A B=12, \sin A=\frac{4}{5}$. 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$, 垂足为 $E$, 则 $\sin \angle B C E=$
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, A B=2, B C=3$. 点 $D$ 为平面上一个动点, $\angle A D B=45^{\circ}$, 则 线段 $C D$ 长度的最小值为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4>3(x-2) \\ 4 x>\frac{x-7}{2}\end{array}\right.$.
某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛. 用简单随机抽样的方法, 从该年级全体 600
名学生中抽取 20 名, 其竞赛成绩如图:
(1) 求这 20 名学生成绩的众数, 中位数和平均数;
（2）若规定成绩大于或等于 90 分为优秀等级, 试估计该年级获优秀等级的学生人数.
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}$, 作 $B C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$, 延长 $A C$ 至点 $E$,
使 $C E=A B$.
(1) 若 $A E=1$, 求 $\triangle A B D$ 的周长;
(2) 若 $A D=\frac{1}{3} B D$, 求 $\tan \angle A B C$ 的值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 一次函数 $y=k x+b(k>0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点, 且与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P(1, m)$.
(1) 求 $m$ 的值;
(2) 若 $P A=2 A B$, 求 $k$ 的值.
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日, 端午节吃粽子是中华民族的传统习
俗. 市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10 元, 某商家用 8000 元购进的猪肉 粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中, 该商家发现猪肉粽每盒售价 50 元时, 每天可售出 100 盒; 每盒售价提高 1 元时, 每天少售出 2 盒.
(1) 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
（2）设猪肉粽每盒售价 $x$ 元 $(50 \leqslant x \leqslant 65$ ), $y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位: 元), 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式并求最大利润.
如图, 边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 为 $A D$ 的中点. 连接 $B E$, 将 $\triangle A B E$ 沿 $B E$ 折叠得 到 $\triangle F B E, B F$ 交 $A C$ 于点 $G$, 求 $C G$ 的长.
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B \neq C D, \angle A B C=90^{\circ}$, 点 $E 、 F$ 分别在线段 $B C$ 、
$A D$ 上, 且 $E F / / C D, A B=A F, C D=D F$.
(1) 求证: $C F \perp F B$;
(2) 求证: 以 $A D$ 为直径的圆与 $B C$ 相切;
(3) 若 $E F=2, \angle D F E=120^{\circ}$, 求 $\triangle A D E$ 的面积.
已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象过点 $(-1,0)$, 且对任意实数 $x$, 都有 $4 x-12 \leqslant a x^{2}+b x+c$ $\leqslant 2 x^{2}-8 x+6 .$
（1）求该二次函数的解析式;
(2) 若 (1) 中二次函数图象与 $x$ 轴的正半轴交点为 $A$,与 $y$ 轴交点为 $C$; 点 $M$ 是 (1) 中二次函数图象上的动点. 问在 $x$ 轴上是否存在点 $N$, 使得以 $A 、 C 、 M 、 N$ 为顶点的四 边形是平行四边形. 若存在, 求出所有满足条件的点 $N$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.