题号:942    题型:解答题    来源:2021年广东省中考数学试卷
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}$, 作 $B C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$, 延长 $A C$ 至点 $E$,
使 $C E=A B$.
(1) 若 $A E=1$, 求 $\triangle A B D$ 的周长;
(2) 若 $A D=\frac{1}{3} B D$, 求 $\tan \angle A B C$ 的值.


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答案:
【解答】解: (1) 如图, 连接 $B D$, 设 $B C$ 垂直平分线交 $B C$ 于点 $F$,
$$
\therefore B D=C D \text {, }
$$
$C_{\triangle A B D}=A B+A D+B D$
$$
\begin{aligned}
&=A B+A D+D C \\
&=A B+A C, \\
&\because A B=C E, \\
&\therefore C_{\triangle A B D}=A C+C E=A E=1,
\end{aligned}
$$
故 $\triangle A B D$ 的周长为 1 .
(2) 设 $A D=x$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore B D=3 x, \\
&\text { 又 } \because B D=C D, \\
&\therefore A C=A D+C D=4 x,
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle A B D$ 中, $A B=\sqrt{B D^{2}-A D^{2}}=\sqrt{(3 x)^{2}-x^{2}}=2 \sqrt{2} x$.
$$
\therefore \tan \angle A B C=\frac{A C}{A B}=\frac{4 x}{2 \sqrt{2} x}=\sqrt{2} \text {. }
$$

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