题号:945    题型:解答题    来源:2021年广东省中考数学试卷
如图, 边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 为 $A D$ 的中点. 连接 $B E$, 将 $\triangle A B E$ 沿 $B E$ 折叠得 到 $\triangle F B E, B F$ 交 $A C$ 于点 $G$, 求 $C G$ 的长.
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答案:
解: 延长 $B F$ 交 $C D$ 于 $H$, 连接 $E H$.
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A B / / C D, \angle D=\angle D A B=90^{\circ}, A D=C D=A B=1, \\
&\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
\end{aligned}
$$
由翻折的性质可知, $A E=E F, \angle E A B=\angle E F B=90^{\circ}, \angle A E B=\angle F E B$,
$\because$ 点 $E$ 是 $A D$ 的中点,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A E=D E=E F, \\
&\because \angle D=\angle E F H=90^{\circ},
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle E H D$ 和 Rt $\triangle E H F$ 中,
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
E H=E H \\
E D=E F
\end{array},\right. \\
&\therefore \text { Rt } \triangle E H D \cong \text { Rt } \triangle E H F(H L),
\end{aligned}
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle D E H=\angle F E H, \\
&\therefore \angle H E B=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle D E H+\angle A E B=90^{\circ}, \\
&\because \angle A E B+\angle A B E=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle D E H=\angle A B E \\
&\therefore \triangle E D H \sim \triangle B A E \\
&\therefore \frac{E D}{A B}=\frac{D H}{E A}=\frac{1}{2} \\
&\therefore D H=\frac{1}{4}, C H=\frac{3}{4} \\
&\because C H / / A B, \\
&\therefore \frac{C G}{G A}=\frac{C H}{A B}=\frac{3}{4}, \\
&\therefore C G=\frac{3}{7} A C=\frac{3 \sqrt{2}}{7} .
\end{aligned}

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