$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,
\begin{aligned} &\therefore A B / / C D, \angle D=\angle D A B=90^{\circ}, A D=C D=A B=1, \\ &\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}, \end{aligned}

$\because$ 点 $E$ 是 $A D$ 的中点,
\begin{aligned} &\therefore A E=D E=E F, \\ &\because \angle D=\angle E F H=90^{\circ}, \end{aligned}

\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} E H=E H \\ E D=E F \end{array},\right. \\ &\therefore \text { Rt } \triangle E H D \cong \text { Rt } \triangle E H F(H L), \end{aligned}
\begin{aligned}
&\therefore \angle D E H=\angle F E H, \\
&\therefore \angle H E B=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle D E H+\angle A E B=90^{\circ}, \\
&\because \angle A E B+\angle A B E=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle D E H=\angle A B E \\
&\therefore \triangle E D H \sim \triangle B A E \\
&\therefore \frac{E D}{A B}=\frac{D H}{E A}=\frac{1}{2} \\
&\therefore D H=\frac{1}{4}, C H=\frac{3}{4} \\
&\because C H / / A B, \\
&\therefore \frac{C G}{G A}=\frac{C H}{A B}=\frac{3}{4}, \\
&\therefore C G=\frac{3}{7} A C=\frac{3 \sqrt{2}}{7} .
\end{aligned}

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