题号:944    题型:解答题    来源:2021年广东省中考数学试卷
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日, 端午节吃粽子是中华民族的传统习
俗. 市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜 10 元, 某商家用 8000 元购进的猪肉 粽和用 6000 元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中, 该商家发现猪肉粽每盒售价 50 元时, 每天可售出 100 盒; 每盒售价提高 1 元时, 每天少售出 2 盒.
(1) 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
(2)设猪肉粽每盒售价 $x$ 元 $(50 \leqslant x \leqslant 65$ ), $y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位: 元), 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式并求最大利润.
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答案:
解: (1) 设猪肉粽每盒进价 $a$ 元, 则豆沙粽每盒进价 $(a-10)$ 元,
则 $\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a-10}$,
解得: $a=40$, 经检验 $a=40$ 是方程的解,
$\therefore$ 猪肉每盒进价 40 元, 豆沙粽每盒进价 30 元,
答: 猪肉每盒进价 40 元, 豆沙粽每盒进价 30 元;
(2)由题意得, 当 $x=50$ 时, , 每天可售出 100 盒,
当猪肉粽每盒售价 $x$ 元 $(50 \leqslant x \leqslant 65 )$ 时, 每天可售 $[100-2(x-50)$ ]盒,
$\therefore y=x[100-2(x-50)]-40 x[100-2(x-50)]=-2 x^{2}+280 x-8000$,
配方, 得: $y=-2(x-70)^{2}+1800$,
$\because x < 70$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $x=65$ 时, $y$ 取最大值, 最大值为: $-2(65-70)^{2}+1800=1750$ (元).
答: $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=-2 x^{2}+280 x-8000(50 \leqslant x \leqslant 65)$, 且最大利润为 1750 元.
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