2023 年四川省宜宾市中考数学试卷

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2023 年四川省宜宾市中考数学试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 2 的相反数是

A.

-2

B.

- \frac{1}{2}

C.

D.

\frac{1}{2}

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2. 下列计算正确的是

A.

4 a - 2 a = 2

B.

2 a b + 3 b a = 5 a b

C.

a + a^{2} = a^{3}

D.

5 x^{2} y - 3 x y^{2} = 2 x y

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3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.

B.

C.

D.

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4. 为积极践行节能减排的发展理念, 宜宾大力推进 “电动宜宾” 工程, 2022 年城区已建成充电基础设施接口超过 8500 个. 将 8500 用科学记数法表示为

A.

0.85 \times 10^{4}

B.

85 \times 10^{2}

C.

8.5 \times 10^{3}

D.

8.5 \times 10^{4}

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5. 如图,

A B / / C D

, 且

∠ A = 40^{\circ}, ∠ D = 24^{\circ}

, 则

∠ E

等于

A.

40^{\circ}

B.

32^{\circ}

C.

24^{\circ}

D.

16^{\circ}

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6. “今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何” 是《孙子算经》卷中著名数学问题. 意思是: 鸡兔同笼, 从上面数, 有 35 个头; 从下面数, 有 94 条腿. 问鸡兔各有多少只? 若设鸡有

x

只, 兔有

y

只, 则所列方程组正确的是

A.

{\begin{cases} x + y = 35 \\ 4 x + 2 y = 94 \end{cases}

B.

{\begin{cases} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{cases}

C.

{\begin{cases} x + y = 94 \\ 4 x + 2 y = 35 \end{cases}

D.

{\begin{cases} x + y = 94 \\ 2 x + 4 y = 35 \end{cases}

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7. 如图, 已知点

A, B, C

在

⊙ O

上,

C

为

\hat{AB}

的中点. 若

∠ B A C = 35^{\circ}

, 则

∠ A O B

等于

A.

140^{\circ}

B.

120^{\circ}

C.

110^{\circ}

D.

70^{\circ}

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8. 分式方程

\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}

的解为

A.

B.

C.

D.

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9. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作, 其中它记录了计算圆弧长度的 “会圆术”. 如图,

\hat{AB}

是以点

O

为圆心、

O A

为半径的圆弧,

N

是

A B

的中点.

M N ⊥ A B

. “会圆术” 给出

\hat{AB}

的弧长

l

的近似值计算公式:

l = A B + \frac{{MN}^{2}}{OA}

. 当

O A = 4, ∠ A O B = 60^{\circ}

时, 则

l

的值为

A.

11 - 2 \sqrt{3}

B.

11 - 4 \sqrt{3}

C.

8 - 2 \sqrt{3}

D.

8 - 4 \sqrt{3}

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10. 如图, 边长为 6 的正方形

A B C D

中,

M

为对角线

B D

上的一点, 连接

A M

并延长交

C D

于点

P

, 若

P M = P C

, 则

A M

的长为

A.

3 (\sqrt{3} - 1)

B.

3 (3 \sqrt{3} - 2)

C.

6 (\sqrt{3} - 1)

D.

6 (3 \sqrt{3} - 2)

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11. 如图, 在平面直角坐标系

x O y

中, 点

A 、 B

分别在

y 、 x

轴上,

B C ⊥ x

轴, 点

M

、

N

分别在线段

B C 、 A C

上,

B M = C M, N C = 2 A N

, 反比例函数

y = \frac{k}{x} (x > 0)

的图象经过

M 、 N

两点,

P

为

x

轴正半轴上一点, 且

O P : B P = 1 : 4, △ A P N

的面积为 3 , 则

k

的值为

A.

\frac{45}{4}

B.

\frac{45}{8}

C.

\frac{144}{25}

D.

\frac{72}{25}

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12. 如图,

△ A B C

和

△ A D E

是以点

A

为直角顶点的等腰直角三角形, 把

△ A D E

以

A

为中心顺时针旋转, 点

M

为射线

B D 、 C E

的交点. 若

A B = \sqrt{3}, A D = 1

. 以下结论: (1)

B D = C E

; (2)

B D ⊥ C E

; (3)当点

E

在

B A

的延长线上时,

M C = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}

; (4)在旋转过程中, 当线段

M B

最短时,

△ M B C

的面积为

\frac{1}{2}

. 其中正确结论有

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 在 “庆五四・展风采” 的演讲比赛中, 7 位同学参加决赛, 演讲成绩依次为: 77 ,

80, 79, 77, 80, 79, 80

. 这组数据的中位数是

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14. 分解因式:

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x =

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15. 若关于

x

的方程

x^{2} - 2 (m + 1) x + m + 4 = 0

两根的倒数和为 1 , 则

m

的值为

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16. 若关于

x

的不等式组

{\begin{cases} 2 x + 1 > x + a \\ \frac{x}{2} + 1 ⩾ \frac{5}{2} x - 9 \end{cases}

所有整数解的和为 14 , 则整数

a

的值为

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17. 如图,

M

是正方形

A B C D

边

C D

的中点,

P

是正方形内一点, 连接

B P

, 线段

B P

以

B

为中心逆时针旋转

90^{\circ}

得到线段

B Q

, 连接

M Q

. 若

A B = 4, M P = 1

, 则

M Q

的最小值为

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18. 如图, 抛物线

y = a x^{2} + b x + c

经过点

A (- 3, 0)

, 顶点为

M (- 1, m)

, 且抛物线与

y

轴的交点

B

在

(0, - 2)

与

(0, - 3)

之间 (不含端点), 则下列结论: (1)当 -3

⩽ x ⩽ 1

时,

y ⩽ 0

; (2)当

△ A B M

的面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

时,

a = \frac{\sqrt{3}}{2}

; (3)当

△ A B M

为直角三角形时, 在

△ A O B

内存在唯一一点

P

, 使得

P A + P O + P B

的值最小, 最小值的平方为

18 + 9 \sqrt{3}

. 其中正确的结论是 (1) (2). (填写所有正确结论的序号)

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. (1) 计算:

2 \tan 45^{\circ} + {(- \frac{1}{2})}^{0} + | \sqrt{3} - 1 |

.
(2) 化简:

(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x}{x^{2} - 4}

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20. 已知: 如图,

A B / / D E, A B = D E, A F = D C

. 求证:

∠ B = ∠ E

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21. 某校举办 “我劳动, 我快乐, 我光荣” 活动. 为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况, 随机调查了九年级 1 班的所有学生在家劳动时间 (单位: 小时), 并进行了统计和整理, 绘制如图所示的不完整统计图. 根据图表信息回答以下问题:

(1) 九年级 1 班的学生共有 ________ 人, 补全条形统计图;
(2) 若九年级学生共有 800 人, 请估计周末在家劳动时间在 3 小时及以上的学生人数;
(3) 已知

E

类学生中恰好有 2 名女生 3 名男生, 现从中抽取两名学生做劳动交流, 请用列表或画树状图的方法, 求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率.

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22. 渝昆高速铁路的建成, 将会显著提升宜宾的交通地位. 渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥 (如图 1), 桥面采用国内首创的公铁平层设计. 为测量左桥墩底到桥面的距离

C D

, 如图 2. 在桥面上点

A

处, 测得

A

到左桥墩

D

的距离

A D = 200

米, 左桥墩所在塔顶

B

的仰角

∠ B A D = 45^{\circ}

, 左桥墩底

C

的俯角

∠ C A D = 15^{\circ}

, 求

C D

的长度. (结果精确到 1 米. 参考数据:

\sqrt{2} \approx 1.4, \sqrt{3} \approx 1.73

)

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23. 如图, 在平面直角坐标系

x O y

中, 等腰直角三角形

A B C

的直角顶点

C (3, 0)

, 顶点

A 、 B (6, m)

恰好落在反比例函数

y = \frac{k}{x}

第一象限的图象上.
(1) 分别求反比例函数的表达式和直线

A B

所对应的一次函数的表达式;
(2) 在

x

轴上是否存在一点

P

, 使

△ A B P

周长的值最小. 若存在, 求出最小值; 若不存在, 请说明理由.

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24. 如图, 以

A B

为直径的

⊙ O

上有两点

E 、 F, \hat{BE} = \hat{EF}

, 过点

E

作直线

C D ⊥ A F

交

A F

的延长线于点

D

, 交

A B

的延长线于点

C

, 过

C

作

C M

平分

∠ A C D

交

A E

于点

M

, 交

B E

于点

N

.
(1) 求证:

C D

是

⊙ O

的切线;
(2) 求证:

E M = E N

;
(3) 如果

N

是

C M

的中点, 且

A B = 9 \sqrt{5}

, 求

E N

的长.

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25. 如图, 抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与

x

轴交于点

A (- 4, 0) 、 B (2, 0)

, 且经过点

C

(- 2, 6)

.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) 在

x

轴上方的抛物线上任取一点

N

, 射线

A N 、 B N

分别与抛物线的对称轴交于点

P

、

Q

, 点

Q

关于

x

轴的对称点为

Q^{'}

, 求

△ A P Q^{'}

的面积;
(3) 点

M

是

y

轴上一动点, 当

∠ A M C

最大时, 求

M

的坐标.

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