2021年福建省中考数学试卷

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2021年福建省中考数学试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 在实数

\sqrt{2}, \frac{1}{2}, 0, - 1

中, 最小的数是 ( )

A.

- 1

B.

C.

\frac{1}{2}

D.

\sqrt{2}

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2. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）

A.

B.

C.

D.

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3. 如图, 某研究性学习小组为测量学校

A

与河对岸工厂

B

之间的距离, 在学校附近选一㤐

C

, 利用测量仪器测得

∠ A = 60^{\circ}, ∠ C = 90^{\circ}, A C = 2 km

. 据此, 可求得学校与工厂之间的距离

A B

等于 ( )

A.

2 km

B.

3 km

C.

2 \sqrt{3} km

D.

4 km

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4. 下列运算正确的是（ )

A.

2 a - a = 2

B.

(a - 1)^{2} = a^{2} - 1

C.

a^{6} \div a^{3} = a^{2}

D.

{(2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}

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5. 某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：

如果按照创新性占

60 %

, 实用性占

40 %

计算总成绩, 并根据总成绩择优推荐, 那么应推存的作品是（）

A.

甲

B.

乙

C.

丙

D.

丁

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6. 某市 2018 年底森林覆盖率为

63 %

. 为贯彻落实 “绿水青山就是金山银山” 的发展理念, 该市大力开展植树造林活动, 2020 年底森林覆盖率达到

68 %

, 如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为

x

, 那么, 符合题意的方程是（）

A.

0.63 (1 + x) = 0.68

B.

0.63 (1 + x)^{2} = 0.68

C.

0.63 (1 + 2 x) = 0.68

D.

0.63 (1 + 2 x)^{2} = 0.68

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7. 如图, 点

F

在正五边形

A B C D E

的内部,

△ A B F

为等边三角形, 则

∠ A F C

等于（）

A.

108^{\circ}

B.

120^{\circ}

C.

126^{\circ}

D.

132^{\circ}

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8. 如图, 一次函数

y = k x + b (k > 0)

的图象过点

(- 1, 0)

, 则不等式

k (x - 1) + b > 0

的解集是 ( )

A.

x > - 2

B.

x > - 1

C.

x > 0

D.

x > 1

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9. 如图,

A B

为

⊙ O

的直径, 点

P

在

A B

的延长线上,

P C, P D

与

⊙ O

相切, 切点分别为

C, D

. 若

A B = 6, P C = 4

, 则

\sin ∠ C A D

等于（　　）

A.

\frac{3}{5}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{4}{5}

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10. 二次函数

y = a x^{2} - 2 a x + c (a > 0)

的图象过

A (- 3, y_{1}), B (- 1

y_{2}), C (2, y_{3}), D (4, y_{4})

四个点, 下列说法一定正确的是（　　）

A.

若

y_{1} y_{2} > 0

, 则

y_{3} y_{4} > 0

B.

若

y_{1} y_{4} > 0

, 则

y_{2} y_{3} > 0

C.

若

y_{2} y_{4} < 0

, 则

y_{1} y_{3} < 0

D.

若

y_{3} y_{4} < 0

, 则

y_{1} y_{2} < 0

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 若反比例函数

y = \frac{k}{x}

的图象过点

(1, 1)

, 则

k

的值等于

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12. 写出一个无理数

x

, 使得

1 < x < 4

, 则

x

可以是（　　） (只要写出一个满足条件的

x

即可)

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13. 某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是

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14. 如图,

A D

是

△ A B C

的角平分线. 若

∠ B = 90^{\circ}, B D = \sqrt{3}

, 则点

D

到

A C

的距离是

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15. 已知非零实数

x, y

满足

y = \frac{x}{x + 1}

, 则

\frac{x - y + 3 x y}{x y}

的值等于（　　）

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16. 如图, 在矩形

A B C D

中,

A B = 4, A D = 5

, 点

E, F

分别是边

A B

B C

上的动点, 点

E

不与

A, B

重合, 且

E F = A B, G

是五边形

A E F C D

内满足

G E = G F

且

∠ E G F = 90^{\circ}

的点. 现给出以下结论:
(1)

∠ G E B

与

∠ G F B

一定互补;
(2)点

G

到边

A B, B C

的距离一定相等;
(3)点

G

到边

A D, D C

的距离可能相等;
(4) 点

G

到边

A B

的距离的最大值为

2 \sqrt{2}

.
其中正确的是（　　）

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算:

\sqrt{12} + | \sqrt{3} - 3 | - {(\frac{1}{3})}^{- 1}

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18. 如图, 在

△ A B C

中,

D

是边

B C

上的点,

D E ⊥ A C, D F ⊥ A B

, 垂足分别为

E, F

, 且

D E =

D F, C E = B F

. 求证:

∠ B = ∠ C

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19. 解不等式组:

{\begin{matrix} x \geq 3 - 2 x \\ \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 3}{6} < 1 \end{matrix}

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20. 某公司经营某种农产品, 零售一箱该农产品的利润是 70 元, 批发一箱该农产品的利润是 40元.
（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元, 问: 该公司当月零售、
批发这种农产品的箱数分别是多少?
（2）经营性质规定, 该公司零售的数量不能多于总数量的 30\%. 现该公司要经营 1000
箱这种农产品, 问: 应如何规划零售和批发的数量, 才能使总利润最大? 最大总利润是
多少?

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21. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}

. 线段

E F

是由线段

A B

平移得到的, 点

F

在边

B C

上,

△ E F D

是以

E F

为斜边的等腰直角三角形, 且㤐

D

恰好在

A C

的延长线上.
(1) 求证:

∠ A D E = ∠ D F C

;
(2) 求证:

C D = B F

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22. 如图, 已知线段

M N = a, A R ⊥ A K

, 垂足为

A

.
(1) 求作四边形

A B C D

, 使得点

B, D

分别在射线

A K, A R

上, 且

A B = B C = a, ∠ A B C

= 60^{\circ}, C D / / A B

; (要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 设

P, Q

分别为 (1) 中四边形

A B C D

的边

A B, C D

的中点, 求证: 直线

A D, B C

P Q

相交于同一点.

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23. “田忌赛马” 的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的
大意是: 齐王有上、中、下三匹马

A_{1}, B_{1}, C_{1}

, 田忌也有上、中、下三匹马

A_{2}, B_{2}, C_{2}

,
且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下:

A_{1} > A_{2} > B_{1} > B_{2} > C_{1} > C_{2}

(注:

A > B

表示

A

马与

B

马比赛,

A

马获胜). 一天, 齐王找田忌赛马, 约定: 每匹马都出场比赛一
局, 共赛三局, 胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势, 田忌事先了解到齐王三局比
赛的 “出马” 顺序为上马、中马、下马, 并采用孙膑的策略: 分别用下马、上马、中马
与齐王的上马、中马、下马比赛, 即借助对阵

(C_{2} A_{1}, A_{2} B_{1}, B_{2} C_{1})

获得了整场比赛的
胜利, 创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的 “出马” 情况, 试回答以下问题:
(1) 如果田忌事先只打探到齐王首局将出 “上马”, 他首局应出哪种马才可能获得整场
比赛的胜利? 并求其获胜的概率;
(2) 如果田忌事先无法打探到齐王各局的 “出马” 情况, 他是否必败无疑? 若是, 请说
明理由; 若不是, 请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况, 并求其获胜的概率.

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24. 如图, 在正方形

A B C D

中,

E, F

为边

A B

上的两个三等分点, 点

A

关于

D E

的对称点为

A^{'}

A A^{'}

的延长线交

B C

于点

G

.
(1) 求证:

D E / / A^{'} F

;
(2) 求

∠ G A^{'} B

的大小;
(3) 求证:

A^{'} C = 2 A^{'} B

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25. 已知抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与

x

轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点

P (0, 1)

, 求

a + b

的最小值;
(2) 已知点

P_{1} (- 2, 1), P_{2} (2, - 1), P_{3} (2, 1)

中恰有两点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 设直线

l : y = k x + 1

与抛物线交于

M, N

两点, 点

A

在直线

y = - 1

上, 且

∠ M A N = 90^{\circ}

, 过点

A

且与

x

轴垂直的直线分别交抛物线和

l

于点

B, C

. 求证:

△ M A B

与

△ M B C

的面积相等.

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