单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
在实数 $\sqrt{2}, \frac{1}{2}, 0,-1$ 中, 最小的数是 ( )
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
如图, 某研究性学习小组为测量学校 $A$ 与河对岸工厂 $B$ 之间的距离, 在学校附近选一㤐 $C$, 利用测量仪器测得 $\angle A=60^{\circ}, \angle C=90^{\circ}, A C=2 \mathrm{~km}$. 据此, 可求得学校与工厂之间的 距离 $A B$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $2 \mathrm{~km}$
$\text{B.}$ $3 \mathrm{~km}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3} \mathrm{~km}$
$\text{D.}$ $4 \mathrm{~km}$
下列运算正确的是（ )
$\text{A.}$ $2 a-a=2$
$\text{B.}$ $(a-1)^{2}=a^{2}-1$
$\text{C.}$ $a^{6} \div a^{3}=a^{2}$
$\text{D.}$ $\left(2 a^{3}\right)^{2}=4 a^{6}$
某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占 $60 \%$, 实用性占 $40 \%$ 计算总成绩, 并根据总成绩择优推荐, 那么应推 存的作品是（）
$\text{A.}$ 甲
$\text{B.}$ 乙
$\text{C.}$ 丙
$\text{D.}$ 丁
某市 2018 年底森林覆盖率为 $63 \%$. 为贯彻落实 “绿水青山就是金 山银山” 的发展理念, 该市大力开展植树造林活动, 2020 年底森林覆盖率达到 $68 \%$, 如 果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 $x$, 那么, 符合题意的方程是（）
$\text{A.}$ $0.63(1+x)=0.68$
$\text{B.}$ $0.63(1+x)^{2}=0.68$
$\text{C.}$ $0.63(1+2 x)=0.68$
$\text{D.}$ $0.63(1+2 x)^{2}=0.68$
如图, 点 $F$ 在正五边形 $A B C D E$ 的内部, $\triangle A B F$ 为等边三角形, 则 $\angle A F C$ 等于（）
$\text{A.}$ $108^{\circ}$
$\text{B.}$ $120^{\circ}$
$\text{C.}$ $126^{\circ}$
$\text{D.}$ $132^{\circ}$
如图, 一次函数 $y=k x+b(k>0)$ 的图象过点 $(-1,0)$, 则不等式 $k(x-1)+b>0$ 的解集 是 ( )
$\text{A.}$ $x>-2$
$\text{B.}$ $x>-1$
$\text{C.}$ $x>0$
$\text{D.}$ $x>1$
如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $P$ 在 $A B$ 的延长线上, $P C, P D$ 与 $\odot O$ 相切, 切点分别为 $C, D$. 若 $A B=6, P C=4$, 则 $\sin \angle C A D$ 等于（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
二次函数 $y=a x^{2}-2 a x+c(a>0)$ 的图象过 $A\left(-3, y_{1}\right), B(-1$, $\left.y_{2}\right), C\left(2, y_{3}\right), D\left(4, y_{4}\right)$ 四个点, 下列说法一定正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $y_{1} y_{2}>0$, 则 $y_{3} y_{4}>0$
$\text{B.}$ 若 $y_{1} y_{4}>0$, 则 $y_{2} y_{3}>0$
$\text{C.}$ 若 $y_{2} y_{4} < 0$, 则 $y_{1} y_{3} < 0$
$\text{D.}$ 若 $y_{3} y_{4} < 0$, 则 $y_{1} y_{2} < 0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象过点 $(1,1)$, 则 $k$ 的值等于
写出一个无理数 $x$, 使得 $1 < x < 4$, 则 $x$ 可以是 （ ） (只要写出一个满足条件的 $x$ 即可)
某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是
如图, $A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线. 若 $\angle B=90^{\circ}, B D=\sqrt{3}$, 则点 $D$ 到 $A C$ 的距离是
已知非零实数 $x, y$ 满足 $y=\frac{x}{x+1}$, 则 $\frac{x-y+3 x y}{x y}$ 的值等于 （ ）
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, A D=5$, 点 $E, F$ 分别是边 $A B$, $B C$ 上的动点, 点 $E$ 不与 $A, B$ 重合, 且 $E F=A B, G$ 是五边形 $A E F C D$ 内满足 $G E=G F$ 且 $\angle E G F=90^{\circ}$ 的点. 现给出以下结论:
(1) $\angle G E B$ 与 $\angle G F B$ 一定互补;
(2)点 $G$ 到边 $A B, B C$ 的距离一定相等;
(3)点 $G$ 到边 $A D, D C$ 的距离可能相等;
(4) 点 $G$ 到边 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$.
其中正确的是 （ ）
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算: $\sqrt{12}+|\sqrt{3}-3|-\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $B C$ 上的点, $D E \perp A C, D F \perp A B$, 垂足分别为 $E, F$, 且 $D E=$ $D F, C E=B F$. 求证: $\angle B=\angle C$.
解不等式组: $\left\{\begin{array}{c}x \geq 3-2 x \\ \frac{x-1}{2}-\frac{x-3}{6} < 1\end{array}\right.$.
某公司经营某种农产品, 零售一箱该农产品的利润是 70 元, 批发一箱该农产品的利润是 40元.
（1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元, 问: 该公司当月零售、
批发这种农产品的箱数分别是多少?
（2）经营性质规定, 该公司零售的数量不能多于总数量的 30\%. 现该公司要经营 1000
箱这种农产品, 问: 应如何规划零售和批发的数量, 才能使总利润最大? 最大总利润是
多少?
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$. 线段 $E F$ 是由线段 $A B$ 平移得到的, 点 $F$ 在边 $B C$ 上,
$\triangle E F D$ 是以 $E F$ 为斜边的等腰直角三角形, 且㤐 $D$ 恰好在 $A C$ 的延长线上.
(1) 求证: $\angle A D E=\angle D F C$;
(2) 求证: $C D=B F$.
如图, 已知线段 $M N=a, A R \perp A K$, 垂足为 $A$.
(1) 求作四边形 $A B C D$, 使得点 $B, D$ 分别在射线 $A K, A R$ 上, 且 $A B=B C=a, \angle A B C$ $=60^{\circ}, C D / / A B$; (要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 设 $P, Q$ 分别为 (1) 中四边形 $A B C D$ 的边 $A B, C D$ 的中点, 求证: 直线 $A D, B C$, $P Q$ 相交于同一点.
“田忌赛马” 的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的
大意是: 齐王有上、中、下三匹马 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$, 田忌也有上、中、下三匹马 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$,
且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下: $A_{1}>A_{2}>B_{1}>B_{2}>C_{1}>C_{2}$ (注: $A>B$
表示 $A$ 马与 $B$ 马比赛, $A$ 马获胜). 一天, 齐王找田忌赛马, 约定: 每匹马都出场比赛一
局, 共赛三局, 胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势, 田忌事先了解到齐王三局比
赛的 “出马” 顺序为上马、中马、下马, 并采用孙膑的策略: 分别用下马、上马、中马
与齐王的上马、中马、下马比赛, 即借助对阵 $\left(C_{2} A_{1}, A_{2} B_{1}, B_{2} C_{1}\right)$ 获得了整场比赛的
胜利, 创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的 “出马” 情况, 试回答以下问题:
(1) 如果田忌事先只打探到齐王首局将出 “上马”, 他首局应出哪种马才可能获得整场
比赛的胜利? 并求其获胜的概率;
(2) 如果田忌事先无法打探到齐王各局的 “出马” 情况, 他是否必败无疑? 若是, 请说
明理由; 若不是, 请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况, 并求其获胜的概率.
如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $E, F$ 为边 $A B$ 上的两个三等分点, 点 $A$ 关于 $D E$ 的对称点为 $A^{\prime}$,
$A A^{\prime}$ 的延长线交 $B C$ 于点 $G$.
(1) 求证: $D E / / A^{\prime} F$;
(2) 求 $\angle G A^{\prime} B$ 的大小;
(3) 求证: $A^{\prime} C=2 A^{\prime} B$.
已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 $P(0,1)$, 求 $a+b$ 的最小值;
(2) 已知点 $P_{1}(-2,1), P_{2}(2,-1), P_{3}(2,1)$ 中恰有两点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 设直线 $l: y=k x+1$ 与抛物线交于 $M, N$ 两点, 点 $A$ 在直线 $y=-1$ 上, 且 $\angle M A N=90^{\circ}$, 过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B, C$. 求证: $\triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的面 积相等.