题号:809    题型:单选题    来源:2021年福建省中考数学试卷
如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $P$ 在 $A B$ 的延长线上, $P C, P D$ 与 $\odot O$ 相切, 切点分别为 $C, D$. 若 $A B=6, P C=4$, 则 $\sin \angle C A D$ 等于(  )
$A.$ $\frac{3}{5}$ $B.$ $\frac{2}{3}$ $C.$ $\frac{3}{4}$ $D.$ $\frac{4}{5}$
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答案:
D

解析:

解: 连接 $O C 、 O D 、 C D, C D$ 交 $P A$ 于 $E$, 如图,
$\because P C, P D$ 与 $\odot O$ 相切, 切点分别为 $C, D$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore O C \perp C P, P C=P D, O P \text { 平分 } \angle C P D, \\
&\therefore O P \perp C D,
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore \widehat{C B}=\widehat{D B} \\
&\therefore \angle C O B=\angle D O B
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\because \angle C A D=\frac{1}{2} \angle C O D, \\
&\therefore \angle C O B=\angle C A D,
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle O C P$ 中, $O P=\sqrt{O C^{2}+P C^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \sin \angle C O P=\frac{P C}{O P}=\frac{4}{5}, \\
&\therefore \sin \angle C A D=\frac{4}{5} .
\end{aligned}
$$
故选: D.

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