【ID】825 【题型】解答题 【类型】中考真题 【来源】2021年福建省中考数学试卷
已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点.
(1)若抛物线过点 $P(0,1)$, 求 $a+b$ 的最小值;
(2) 已知点 $P_{1}(-2,1), P_{2}(2,-1), P_{3}(2,1)$ 中恰有两点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 设直线 $l: y=k x+1$ 与抛物线交于 $M, N$ 两点, 点 $A$ 在直线 $y=-1$ 上, 且 $\angle M A N=90^{\circ}$, 过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B, C$. 求证: $\triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的面 积相等.
答案:
解:(1)把 $P(0,1)$ 代入解析式得: $c=1$,
$\therefore y=a x^{2}+b x+1$,
又 $\because$ 抛物线与 $x$ 轴只有一个公共点,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \triangle=b^{2}-4 a=0, \quad \text { 即 } a=\frac{b^{2}}{4}, \\
&\therefore a+b=\frac{1}{4} b^{2}+b=\frac{1}{4}(b+2)^{2}-1,
\end{aligned}
$$
当 $b=-2$ 时, $a+b$ 有最小值为 $-1$;
(2) (1) $\because$ 抛物线与 $x$ 轴只有一个公共点,
$\therefore$ 抛物线上的点在 $x$ 轴的同一侧或 $x$ 轴上,
$\therefore$ 抛物线上的点为 $P_{1}, P_{3}$,
又 $\because P_{1}, P_{3}$ 关于 $y$ 轴对称,
$\therefore$ 顶点为原点 $(0,0)$,
设解析式为 $y=a x^{2}$,
代入点 $P_{1}$ 得: $y=\frac{1}{4} x^{2}$,

(2)证明:
联立直线 $l$ 和抛物线得:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{1}{4} x^{2} \\
y=k x+1
\end{array}\right.
$$
即: $x^{2}-4 k x-4=0$,
设 $M\left(x_{1}, k x_{1}+1\right), N\left(x_{2}, k x_{2}+1\right)$,
由韦达定理得: $x_{1}+x_{2}=4 k, x_{1} x_{2}=-4$,
设线段 $M N$ 的中点为 $T$, 设 $A$ 的坐标为 $(m,-1)$,
则 $T$ 的坐标为 $\left(2 k, 2 k^{2}+1\right)$,
$$
\therefore A T^{2}=(2 k-m)^{2}+\left(2 k^{2}+2\right)^{2},
$$
由题意得: $M N^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(k x_{1}-k x_{2}\right)^{2}=16\left(k^{4}+2 k^{2}+1\right)$,
$\because \triangle M A N$ 是直角三角形, 且 $M N$ 是斜边,

$$
\begin{aligned}
&\therefore \frac{1}{2} M N=A T \text {, 即: } \frac{1}{4} M N^{2}=A T^{2}, \\
&\therefore \frac{1}{4} \times 16\left(k^{4}+2 k^{2}+1\right)=(2 k-m)^{2}+\left(2 k^{2}+2\right)^{2},
\end{aligned}
$$
解得 $m=2 k$,
$\therefore A(2 k,-1)$, $\therefore B\left(2 k, k^{2}\right)$, $\therefore C\left(2 k, 2 k^{2}+1\right)$, $\because \frac{2 k^{2}+1+(-1)}{2}=k^{2}$ $\therefore B$ 是 $A C$ 的中点, $\therefore A B=B C$,
又 $\because \triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的高都是点 $M$ 到直线 $A C$ 的距离,
$\therefore \triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的高相等,
$\therefore \triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的面积相等.

解析:

视频讲解

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