题号:823    题型:解答题    来源:2021年福建省中考数学试卷
“田忌赛马” 的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的
大意是: 齐王有上、中、下三匹马 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$, 田忌也有上、中、下三匹马 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$,
且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下: $A_{1} > A_{2} > B_{1} > B_{2} > C_{1} > C_{2}$ (注: $A > B$
表示 $A$ 马与 $B$ 马比赛, $A$ 马获胜). 一天, 齐王找田忌赛马, 约定: 每匹马都出场比赛一
局, 共赛三局, 胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势, 田忌事先了解到齐王三局比
赛的 “出马” 顺序为上马、中马、下马, 并采用孙膑的策略: 分别用下马、上马、中马
与齐王的上马、中马、下马比赛, 即借助对阵 $\left(C_{2} A_{1}, A_{2} B_{1}, B_{2} C_{1}\right)$ 获得了整场比赛的
胜利, 创造了以弱胜强的经典案例.
假设齐王事先不打探田忌的 “出马” 情况, 试回答以下问题:
(1) 如果田忌事先只打探到齐王首局将出 “上马”, 他首局应出哪种马才可能获得整场
比赛的胜利? 并求其获胜的概率;
(2) 如果田忌事先无法打探到齐王各局的 “出马” 情况, 他是否必败无疑? 若是, 请说
明理由; 若不是, 请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况, 并求其获胜的概率.
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答案:
解: (1) 田忌首局应出 “下马”才可能获胜,
此时, 比赛所有可能的对阵为: $(A 1 C 2, B 1 A 2, C 1 B 2),(A 1 C 2, C 1 B 2, B 1 A 2),(A 1 C 2$,
$B 1 B 2, C 1 A 2),(A 1 C 2, B 1 B 2, C 1 A 2)$, 共四种, 其中获胜的有两场,
故此田忌获胜的概率为 $P=\frac{1}{2}$.
(2) 不是.
当齐王的出马顺序为 $A 1, B 1, C 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(A 1 C 2, B 1 A 2, C 1 B 2)$,
当齐王的出马顺序为 $A 1, C 1, B 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(A 1 C 2, C 1 B 2, B 1 A 2)$,
当齐王的出马顺序为 $B 1, A 1, C 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(B 1 A 2, A 1 C 2, C 1 B 2)$,
当齐王的出马顺序为 $B 1, C 1, A 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(C 1 B 2, A 1 C 2, B 1 A 2)$,
当齐王的出马顺序为 $C 1, A 1, B 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(C 1 B 2, A 1 C 2, B 1 A 2)$,
当齐王的出马顺序为 $C 1, B 1, A 1$ 时, 田忌获胜的对阵是: $(C 1 B 2, B 1 A 2, A 1 C 2)$,
综上所述, 田忌获胜的对阵有 6 种, 不论齐王的出马顺序如何, 也都有相应的 6 种可能
对阵, 所以田忌获胜的概率为 $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
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