题号:816    题型:填空题    来源:2021年福建省中考数学试卷
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, A D=5$, 点 $E, F$ 分别是边 $A B$, $B C$ 上的动点, 点 $E$ 不与 $A, B$ 重合, 且 $E F=A B, G$ 是五边形 $A E F C D$ 内满足 $G E=G F$ 且 $\angle E G F=90^{\circ}$ 的点. 现给出以下结论:
(1) $\angle G E B$ 与 $\angle G F B$ 一定互补;
(2)点 $G$ 到边 $A B, B C$ 的距离一定相等;
(3)点 $G$ 到边 $A D, D C$ 的距离可能相等;
(4) 点 $G$ 到边 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$.
其中正确的是 (  )
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答案:
(1)(2)(4)

解析:

【解答】解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$\therefore \angle B=90^{\circ}$,
又 $\because \angle E G F=90^{\circ}$, 四边形内角和是 $360^{\circ}$,
$\therefore \angle G E B+\angle G F B=180^{\circ}$,
故(1)正确;
过 $G$ 作 $G M \perp A B, G N \perp B C$, 分别交 $A B$ 于 $M$, 交 $B C$ 于 $N$,
$\because G E=G F$ 且 $\angle E G F=90^{\circ}$,
$\therefore \angle G E F=\angle G F E=45^{\circ}$,
又 $\therefore \angle B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle B E F+\angle E F B=90^{\circ}$, 即 $\angle B E F=90^{\circ}-\angle E F B$,
$\because \angle G E M=180^{\circ}-\angle B E F-\angle G E F=180^{\circ}-45^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle E F B\right)=45^{\circ}+\angle E F B$,
$\angle G F N=\angle E F B+\angle G F E=\angle E F B+45^{\circ}$,
$\therefore \angle G E M=\angle G F N$,
在 $\triangle G E M$ 和 $\triangle G F N$ 中,
$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle G M E=\angle G N F=90^{\circ} \\
\angle G E M=\angle G F N \\
G E=G F
\end{array},\right.
$$
$\therefore \triangle G E M \cong \triangle G F N(A A S)$,
$\therefore G M=G N$,
故(2)正确;
$\because A B=4, A D=5$, 并由(2)知,
点 $G$ 到边 $A D, D C$ 的距离不相等,
故(3)错误:
当四边形 $E B F G$ 是正方形时, 点 $G$ 到 $A B$ 的距离最大,
$\therefore \triangle G E M \cong \triangle G F N(A A S)$,
$\therefore G M=G N$,
故(2)正确;
$\because A B=4, A D=5$, 并由(2)知,
点 $G$ 到边 $A D, D C$ 的距离不相等,
故(3)错误:
当四边形 $E B F G$ 是正方形时, 点 $G$ 到 $A B$ 的距离最大,
$\because E F=A B=4$,
$\therefore G E=E B=B F=F G=4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{2}$,
故(4)正确.
故答案为: (1)(2)(4).
$\because E F=A B=4$,
$\therefore G E=E B=B F=F G=4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{2}$,
故(4)正确.
故答案为: (1)(2)(4).
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