单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}, B=\{x \mid x=3 k+2, k \in Z\}, U$ 为整数集, 则 $\complement_U(A \cup B)=$
$\text{A.}$ $\{x \mid x=3 k, k \in Z\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x=3 k-1, k \in Z\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x=3 k-2, k \in Z\}$
$\text{D.}$ $\varnothing$
若复数 $(a+\mathrm{i})(1-a \mathrm{i})=2, a \in \mathbf{R}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
执行下面的程序框图，输出的 $B=$
$\text{A.}$ 21
$\text{B.}$ 34
$\text{C.}$ 55
$\text{D.}$ 89
向量 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 ，|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$ 且 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$ ，则 $\cos \langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中， $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和, $S_5=5 S_3-4 ， S_4=$
$\text{A.}$ 7
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 15
$\text{D.}$ 20
有 50 人报名足球倶乐部, 60 人报名乒乓球倶乐部, 70 人报名足球或乒乓球倶乐部, 若已知某人报足球 倶乐部, 则其报乒乓球倶乐部的概率为
$\text{A.}$ 0.8
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ 0.2
$\text{D.}$ 0.1
$ \sin ^2 \alpha+\sin ^2 \beta=1$ 是 $\cos \alpha+\cos \beta=0$ 的
$\text{A.}$ 充分条件但不是必要条件
$\text{B.}$ 必要条件但不是充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不是充分条件也不是必要条件
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$ 交于 $A ， B$ 两 点, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，
则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
$\text{A.}$ 120
$\text{B.}$ 60
$\text{C.}$ 40
$\text{D.}$ 30
已知 $f(x)$ 为函数 $y=\cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位所得函数，则 $y=f(x)$ 与 $y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{2}$ ，交点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
在四棱雉 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B=4 ， P C=P D=3 ， \angle P C A=45^{\circ}$ ，则 $\triangle P B C$ 的面积为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 ， F 1 、 F 2$ 为两个焦点， $O$ 为原点， $\mathrm{P}$ 为椭有圆上一点， $\cos \angle F_1 P F_2=\frac{3}{5}$ ，则 $|O P|=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{30}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{35}}{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $y=(x-1)^2+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为偶函数, 则 $a=$
设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+3 y \leqslant 3 \\ 3 x-2 y \leqslant 3 \\ x+y \geq 1\end{array}\right.$, 设 $z=3 x+2 y$, 则 $z$ 的最大值
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中， $E ， F$ 分别为 $C D ， A_1 B_1$ 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为与 正方体每条棱的交点总数为
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\angle B A C=60^{\circ}, A B=2 ， B C=\sqrt{6}, \mathrm{AD}$ 平分 $\angle B A D$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$ ，则 $\mathrm{AD}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中， $a_2=1$ ，设 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_n=n a_n$
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(2) 求数列 $\left\{\frac{a_n+1}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$
在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A A_1=2, A_1 C \perp$ 底面 $A B C, \angle A C B=90^{\circ}, A_1$ 到平面 $B C C_1 B_1$ 的距离为 1 .
(1) 证明: $A C=A_1 C$;
(2) 若直线 $A A_1$ 与 $B B_1$ 距离为 2 , 求 $A B_1$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正弦值.
为探究某药物对小鼠的生长作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组 (不药物) 和实验组 (加药物)。
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 $X$ ，求 $X$ 的分布到和数学期望;
(2) 测得 40 只小鼠体重如下 (单位：g）：（已按从小到大排好)
对照组
17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组
5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求 40 只小鼠体重的中位数 m，并完成下面 2×2 列联表
（ii）根据 2×2 列联表，能否有 95％的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用
参考数据：
直线 $x-2 y+1=0$ 与 $y^2=2 p x(p>0)$ 交与 $A ， B$ 两点， $|A B|=4 \sqrt{15}$
(1) 求 $P$ 的值;
(2) $F$ 为 $y^2=2 p x$ 的焦点， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为抛物线上的两点，且 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值
已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^3 x} ， x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
(1) 若 $a=8$, 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x) < \sin 2 x$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
选修 4-4：坐标系与参数方程
已知 $p(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha, \\ 1+t \sin \alpha,\end{array}\right.$ ( t为参数)， $\mid$ 与x轴， y轴正半轴交于A，B 两点， $|P A| \cdot|P B|=4$
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 以原点为极点，难正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程
选修4-5:不等式选讲
已知 $f(x)=2|x-a|-a, a>0$
(1) 解不等式 $f(x) < x$;
(2) 若 $y=f(x)$ 与坐标轴围成的面积为 2 ，求 $\mathrm{a}$