单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{1+\mathrm{e}^{-x^{2}}}{1-\mathrm{e}^{-x^{2}}}(\quad)$
$\text{A.}$ 没有渐近线.
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线.
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{x} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{x}+\ln 2$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{2 x}+\ln 2$.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 等于 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域, $D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分, 则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于（ ）
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ 0
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有 ( )
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A C B}=\boldsymbol{E}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C B A}=\boldsymbol{E}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B A C}=\boldsymbol{E}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{B C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角区域， $D_1$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_D(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $2 \iint_{D_1} \cos x \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$\text{B.}$ $2 \iint_{D_1} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_1}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
$\text{D.}$ 0
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{2}, \\ y=\cos t,\end{array}\right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$
由方程 $x y z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z=$
已知两条直线的方程是 $L_{1}: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}, L_{2}: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$, 则过 $L_{1}$ 且平行于 $L_{2}$ 的 平面方程是
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(1+a x^{2}\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小, 则常数 $a=$
设 4 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}5 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=$
若随机变量 $X$ 服从均值为 2 , 方差为 $\sigma^{2}$ 的正态分布, 且 $P\{2 < X < 4\}=0$. 3, 则 $P\{X < 0\}=$
若随机变量 $X$ 服从均值为 2 ，方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$ ，则 $P\{X < 0\}=$
随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2 a x-x^2}(a>0)$ 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}$.
设 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量, 求函数 $u=\frac{\sqrt{6 x^{2}+8 y^{2}}}{z}$ 在点 $P$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数.
求 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲线
$\left\{\begin{array}{l}
y^{2}=2 z \\
x=0
\end{array}\right.$
绕 $ z $ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $ z=4$ 所围成的立体.
在过点 $O(0,0)$ 和 $A(\pi, 0)$ 的曲线族 $y=a \sin x(a>0)$ 中, 求一条曲线 $L$, 使沿该曲线从 $O$ 到 $A$ 的 积分 $\int_{L}\left(1+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ 的值最小.
将函数 $f(x)=2+|x|(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ 展开成以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $(0,1)$ 内可导, 且 $3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} f(x) \mathrm{d} x=f(0)$, 证明: 在 $(0,1)$ 内存在一点 $c$, 使 $f^{\prime}(c)=0 .$
已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,2,4, a+8)$ 及 $\boldsymbol{\beta}=$ $(1,1, b+3,5)$.
(1) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的线性组合?
(2) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的唯一的线性表示式? 并写出该表示式.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定阵, $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵,证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的行列式大于 1 .
在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点 $P(x, y)$ 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 $P Q$ 长 度的倒数 ( $Q$ 是法线与 $x$ 轴的交点), 且曲线在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴平行.
随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2 a x-x^{2}}$ ( $a$ 为正常数) 内郑一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区 域的面积成正比, 则原点和该点的连线与 $x$ 轴的夹角小于 $ \frac{\pi}{4} $ 的概率为
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+2 y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$ 求随机变量$Z=X+2Y$的分布函数.
计算 $ I=\int_3^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}} $
计算 $\iint_{\Sigma}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是圆柱面 $x^2+y^2=4$ 被平面 $x+z=2$ 和 $z=0$ 所截出部分的外侧.