单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x| | x \mid < 3, x \in \mathbb{Z}\}, B=\{x \mid y=\ln (x-1)\}$ ，则 $A \cap\left(\complement_{\mathrm{R}} B\right)=$
$\text{A.}$ $\{-2,-1,0,1,2\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0,1\}$
$\text{C.}$ $\{-2,-1,0,1\}$
$\text{D.}$ $\{-2,-1,0\}$
复数 $z$ 满足 $z\left(\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}\right)=2 \mathrm{i}$（ i 为虚数单位），则 $z=$
$\text{A.}$ $2+2 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}-\sqrt{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-2+2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}$
命题＂$\forall a>1$ ，函数 $f(x)=x^a$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递增＂的否定为
$\text{A.}$ $\exists a>1$ ，函数 $f(x)=x^a$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递减
$\text{B.}$ $\exists a>1$ ，函数 $f(x)=x^a$ 在 $[a,+\infty)$ 上不单调递增
$\text{C.}$ $\exists a \leqslant 1$ ，函数 $f(x)=x^a$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递减
$\text{D.}$ $\exists a \leqslant 1$ ，函数 $f(x)=x^a$ 在 $[a,+\infty)$ 上不单调递增
书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为＂古希腊三大数学书＂，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{18}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{22}{35}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{15}$
已知直线 $x=\frac{\pi}{12}, x=\frac{\pi}{3}$ 是函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0$ ， $\left.\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 图象的两条相邻的对称轴，且 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)- f\left(\frac{\pi}{12}\right)=-4$ ，则 $f(\varphi)=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
已知椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上、下顶点分别为 $A_1$ ， $A_2, P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A_1, A_2$ 的一点，直线 $P A_1$ 和 $P A_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ，则满足 $k_1 k_2=-3$ 的椭圆 $C$ 的方程是
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{6}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1$
$\text{C.}$ $\frac{y^2}{6}+\frac{x^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$
如图，已知正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A A_1=A B=2$ ，设 $P$ ， $M, N, G$ 分别为棱 $A B, B B_1, B_1 C_1, B C$ 的中点，则点 $G$ 到平面 $M N P$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{15}}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
已知函数 $f(x)=2|x+m|+\log _3(x+m)^2$ ．若 $f(x+1)$ 为偶函数，$a=f\left(\frac{5}{2}\right), b=f\left(\sqrt{\mathrm{e}^3}\right), c=f\left(\ln \frac{7}{2}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $b>a>c$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $c>a>b$
$\text{D.}$ $a>b>c$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知角 $\alpha$ 的终边过点 $P(1,-2)$ ，则
$\text{A.}$ $\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{2 \sin \alpha+\cos \alpha}=-1$
$\text{B.}$ $\sin ^2 \alpha-3 \sin \alpha \cos \alpha=2$
$\text{C.}$ $\cos 2 \alpha=\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{3}$
已知圆锥 $S O$ 的轴截面是顶角为 $\frac{2 \pi}{3}$ 的等腰三角形，其母线长为 $l$ ，底面圆周上有 $A, B$ 两点，下列说法正确的有
$\text{A.}$ 截面 $S A B$ 的最大面积为 $\frac{1}{2} l^2$
$\text{B.}$ 若 $\angle A O B=\frac{\pi}{3}$ ，则直线 $S A$ 与平面 $S O B$ 夹角的正弦值为 $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ 若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为 $2 l \sin \frac{\sqrt{3} \pi}{2}$
$\text{D.}$ 当三棱锥 $O-S A B$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{7}{4} \pi l^2$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-2 a_n+2$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 当 $a_1=\frac{1}{2}$ 时， $1 < a_n \leqslant \frac{5}{4}(n \geqslant 2)$
$\text{B.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为常数列，则 $a_n=2$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为递增数列，则 $a_1>2$
$\text{D.}$ 当 $a_1=3$ 时，$a_n=2^{2^{n-1}}+1$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的展开式中含有 $x^2$ 项，则 $n$ 的值可以是 $\_\_\_\_$ （写出满足条件的一个 $n$ 值即可）．
在平行四边形 $A B C D$ 中，$A B=2 A D=4, \angle B A D=60^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，$A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=$
过双曲线 $C: \frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的右焦点 $F$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，$O$ 为原点，线段 $O M$ 的中点与线段 $A B$ 的中点重合，则四边形 $O A M B$ 面积的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某超市推出了一项优惠活动，规则如下：
规则一：顾客在本店消费满 100 元，返还给顾客 10 元消费券；
规则二：顾客在本店消费满 100 元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值 20 元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．
（1）某顾客在该超市消费了 300 元，进行了 3 次抽奖，每次中奖的概率均为 $p$ ．记中奖 2 次的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 取得最大值时，$p$ 的值 $p_0$ ．
（2）若某顾客有 3 次抽奖的机会，且中奖率均为 $p_0$ ，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．
如图，在圆柱 $O_1 O_2$ 中，正方形 $A B C D$ 是该圆柱的轴截面，$B C$ 为圆柱下底面的直径，$E$ 为底面圆周上一点，点 $E$ 与 $B, C$ 不重合，且 $B C=4$ ．
（1）求证：平面 $D C E \perp$ 平面 $A B E$ ．
（2）若 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $A-D E-B$ 的余弦值．
已知抛物线 $C: x^2=-2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F(0$ ， $-2)$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\left(x_2>\right. \left.x_1\right), C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ．
（1）求 $x_1 x_2$ 的值．
（2）若点 $D$ 是抛物线 $C$ 上位于直线 $A B$ 上方的点，点 $D$处的切线与 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ，求证：$|M P|$ ． $|M D|=|A M| \cdot|D N|$.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+(a-2) \mathrm{e}^x-2 a x$ ．
（1）若曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(0, a-\frac{3}{2}\right)$ 处的切线方程为 $4 a x+ 2 y+1=0$ ，求 $a$ 的值及 $f(x)$ 的单调区间．
（2）若 $f(x)$ 的极大值为 $f(\ln 2)$ ，求 $a$ 的取值范围．
（3）当 $a=0$ 时，求证：$f(x)+5 \mathrm{e}^x-\frac{5}{2}>\frac{3}{2} x^2+x \ln x$ ．
设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right)$ ，称 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=a_1 b_1+ a_2 b_2+\cdots+a_n b_n$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的内积，当 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ，称向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 正交．设 $S_n$ 为全体由 -1 和 1 构成的 $n$ 元数组对应的向量的集合．
（1）若 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ，写出一个向量 $\boldsymbol{b}$ ，使得 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ．
（2）令 $B=\left\{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in S_n\right\}$ ．若 $m \in B$ ，证明：$m+n$ 为偶数．
（3）若 $n=4, f(4)$ 是从 $S_4$ 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ，猜测 $f(4)$ 的值，并给出一个实例．