已知圆锥 $S O$ 的轴截面是顶角为 $\frac{2 \pi}{3}$ 的等腰三角形，其母线长为 $l$ ，底面圆周上有 $A, B$ 两点，下列说法正确的有
A. 截面 $S A B$ 的最大面积为 $\frac{1}{2} l^2$
B. 若 $\angle A O B=\frac{\pi}{3}$ ，则直线 $S A$ 与平面 $S O B$ 夹角的正弦值为 $\frac{3}{4}$
C. 若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为 $2 l \sin \frac{\sqrt{3} \pi}{2}$
D. 当三棱锥 $O-S A B$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{7}{4} \pi l^2$