已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+(a-2) \mathrm{e}^x-2 a x$ ．
（1）若曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(0, a-\frac{3}{2}\right)$ 处的切线方程为 $4 a x+ 2 y+1=0$ ，求 $a$ 的值及 $f(x)$ 的单调区间．
（2）若 $f(x)$ 的极大值为 $f(\ln 2)$ ，求 $a$ 的取值范围．
（3）当 $a=0$ 时，求证：$f(x)+5 \mathrm{e}^x-\frac{5}{2}>\frac{3}{2} x^2+x \ln x$ ．