解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解答下列问题：
（1）设 $f(x)= e ^x$ ，求在公式 $f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta x$ 中的 $\theta$ 。
（2）设 $f(x)=1 / x, 0 < x_0 < x_0+\Delta x$ ，则公式
$$
f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0+\theta \Delta x\right) \Delta x
$$
中之 $\theta$ 满足： $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \theta=1 / 2$ 。
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ 且在 $(a, b)$ 上可微。若 $f(x)>0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则存在 $\xi \in$ $(a, b)$ ，使得 $f(b) / f(a)= e ^{(b-a) f^{\prime}(\xi) / f(\xi)}$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ 且在 $(a, b)$ 上可微。若 $f(x) \neq 0(a < x < b)$ ，则存在 $\xi \in$ $(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) / f(\xi)=1 /(a-\xi)+1 /(b-\xi)$ 。
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(a)=f(b)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $e ^{\eta-\hat{\varepsilon}}\left[f(\eta)+f^{\prime}(\eta)\right]=1$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导 ．若 $f(a)=0, f(x)>0(x \in(a, b))$ ，则对任意的自然数 $n, m$ ，存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{m f^{\prime}(\eta)}{f(\eta)}$ ．
（3）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1(\xi \neq \eta)$ 。
试证明下列命题：
（1）$\frac{\ln 2+1}{4}=\frac{1}{2(1+\xi)^2},-1 < \xi < 1$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|
$$
试证明下列不等式：
（1）$\frac{a^{\frac{1}{n+1}}}{(n+1)^2} < \frac{a^{\frac{1}{n}}-a^{\frac{1}{n+1}}}{\ln a} < \frac{a^{\frac{1}{n}}}{n^2}(a>1)$ ．
（2）$a^y-a^x>(\cos x-\cos y) a^x \ln a\left(0 < x < y < \frac{\pi}{2}, a> e \right)$ ．
（3）$(m+n)\left(1+x^m\right) \geqslant 2 n\left(1-x^{m+n}\right) /\left(1-x^n\right) \quad(x>0, m \geqslant n \geqslant 1)$ ．
试求下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}$ ．
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{-1 / x^2}}{x^{100}}$ ．
试证明下列命题：
（1）设 $g \in C^{(2)}((-\infty, \infty)), g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ 。令
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
g(x)-e^{-x}, & x \neq 0 \\
x & x=0
\end{array}\right.
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续。
（2） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+a^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{1 / x}=\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}\left(a, \cdots, a_n>0\right)$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上递增。若 $f(x) / x^p \rightarrow 1(x \rightarrow$ $+\infty)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{p x^{p-1}}=1$ ．
试证明下列命题：
（1） $2 \arctan x+\arcsin \frac{2 x}{1+x^2}=\pi(1 < x < \infty)$ ．
（2）设 $f(x)$ 可导．若曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $P(x, y)$ 处的切线与向径 $O P$ 垂直，则此曲线为一个（半）圆周。
试证明下列命题：
（1）设 $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0\left(a_n \neq 0\right)$ ，则存在 $X>0$ ，使得 $P(x)$ 在 $(-\infty,-X),(X,+\infty)$ 上严格单调。
（2）设 $R(x)=\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right) /\left(b_m x^m+\cdots+b_0\right), a_n b_m \neq 0$ ，且不是常数，则存在 $X>0$ ，使得 $R(x)$ 在 $(-\infty,-X),(X,+\infty)$ 上严格单调。
解答下列问题：
（1）设 $a=\sqrt{2}, a_{n+1}=2^{a_n / 2}(n \in N )$ ，试论 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性。
（2）设 $a_1>0, a_{n+1}=2^{1-a_n}(n \in N )$ ，试论 $\left\{a_n\right\}$ 的收敛性。
（3）已知 $5^2+5+2=2^5$ ，问是否存在其他正整数 $n, m$ ，使得 $n^m+n+m=m^n$ ？
（4）求一切满足 $0 < a < b$ 且 $a^b=b^a$ 的整数 $a, b$ 之值。
试证明下列不等式：
（1） $\cos ^p \theta \leqslant \cos (p \theta)(0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2 ; 0 < p < 1)$ 。
（2） $\cos x+\cos y \leqslant 1+\cos (x y)\left(x^2+y^2 \leqslant \pi\right)$ ．
（3） $1 / \sin ^2 x \leqslant 1 / x^2+1-4 / \pi^2(0 < x \leqslant \pi / 2)$ ．
（4）$f(s+t) < f(s)+f(t)(s, t>0, s+t < 1)$ ，其中
$$
f(x)=x-x^3 / 6+\left(x^4 / 24\right) \sin (1 / x)(x>0) .
$$
试证明下列不等式：
（1） $0 \leqslant e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t^2 e ^{-t} / n \quad(n \in N , t \in[0, n])$ 。
（2） $e ^{-t}-(1-t / n)^n \leqslant t e ^{-t / 2} \sqrt{n} \quad(n \geqslant 36, t \in[0, n])$ 。
试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调，则 $f^{\prime} \in C((a, b))$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则对任意的 $\xi \in(a$ ， $b)$ ，存在 $\xi^{\prime}: a < \xi < \xi^{\prime} \leqslant b$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f\left(\xi^{\prime}\right)-f(a)}{\xi^{\prime}-a}$ 。
（3）（i）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有
$$
x_i \in(a, b), \quad \lambda_i>0 \quad(i=1,2, \cdots, n) ; \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i=1,
$$
则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i f^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}(\xi)$ ．
（ii）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $x_i < y_i, x_i, y_i \in(a, b)(i=1,2, \cdots, n)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\sum_{i=1}^n\left[f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right]=f^{\prime}(\xi) \sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right) .
$$
设 $f(x)=a \cos ^2 x+2 b \cos x \cdot \sin x+c \sin ^2 x$ 。
（1）试问在什么条件下，$f(x)$ 是一个常数？
（2）在不是（1）的情形，试求 $f(x)$ 的极值。