试证明下列命题：
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导。若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调，则 $f^{\prime} \in C((a, b))$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二次可导。若 $f^{\prime \prime}(x) \neq 0(a \leqslant x \leqslant b)$ ，则对任意的 $\xi \in(a$ ， $b)$ ，存在 $\xi^{\prime}: a < \xi < \xi^{\prime} \leqslant b$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f\left(\xi^{\prime}\right)-f(a)}{\xi^{\prime}-a}$ 。
（3）（i）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有

$$
x_i \in(a, b), \quad \lambda_i>0 \quad(i=1,2, \cdots, n) ; \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i=1,
$$


则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\sum_{i=1}^n \lambda_i f^{\prime}\left(x_i\right)=f^{\prime}(\xi)$ ．
（ii）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导，且有 $x_i < y_i, x_i, y_i \in(a, b)(i=1,2, \cdots, n)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\sum_{i=1}^n\left[f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right]=f^{\prime}(\xi) \sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right) .
$$