试证明下列不等式：
（1）$\frac{a^{\frac{1}{n+1}}}{(n+1)^2} < \frac{a^{\frac{1}{n}}-a^{\frac{1}{n+1}}}{\ln a} < \frac{a^{\frac{1}{n}}}{n^2}(a>1)$ ．
（2）$a^y-a^x>(\cos x-\cos y) a^x \ln a\left(0 < x < y < \frac{\pi}{2}, a> e \right)$ ．
（3）$(m+n)\left(1+x^m\right) \geqslant 2 n\left(1-x^{m+n}\right) /\left(1-x^n\right) \quad(x>0, m \geqslant n \geqslant 1)$ ．