试证明下列不等式：
（1） $\cos ^p \theta \leqslant \cos (p \theta)(0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 2 ; 0 < p < 1)$ 。
（2） $\cos x+\cos y \leqslant 1+\cos (x y)\left(x^2+y^2 \leqslant \pi\right)$ ．
（3） $1 / \sin ^2 x \leqslant 1 / x^2+1-4 / \pi^2(0 < x \leqslant \pi / 2)$ ．
（4）$f(s+t) < f(s)+f(t)(s, t>0, s+t < 1)$ ，其中

$$
f(x)=x-x^3 / 6+\left(x^4 / 24\right) \sin (1 / x)(x>0) .
$$