试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(a)=f(b)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $e ^{\eta-\hat{\varepsilon}}\left[f(\eta)+f^{\prime}(\eta)\right]=1$ 。
（2）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导 ．若 $f(a)=0, f(x)>0(x \in(a, b))$ ，则对任意的自然数 $n, m$ ，存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{m f^{\prime}(\eta)}{f(\eta)}$ ．
（3）设 $f \in C([a, b])$ ，且在 $(a, b)$ 上可导．若 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则存在 $\xi, \eta \in$ $(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1(\xi \neq \eta)$ 。