试证明下列命题：
（1）设 $g \in C^{(2)}((-\infty, \infty)), g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ 。令

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
g(x)-e^{-x}, & x \neq 0 \\
x & x=0
\end{array}\right.
$$


则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上连续。
（2） $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+a^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{1 / x}=\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}\left(a, \cdots, a_n>0\right)$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上递增。若 $f(x) / x^p \rightarrow 1(x \rightarrow$ $+\infty)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{p x^{p-1}}=1$ ．