1988年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

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1988年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

可导且

f^{'} (x_{0}) = \frac{1}{2}

, 则当

Δ x \to 0

时, 该函数在

x = x_{0}

处的微分

d y

是

()

A.

与

Δ x

等价的无穷小.

B.

与

Δ x

同阶的无穷小.

C.

与

Δ x

低阶的无穷小.

D.

比

Δ x

高阶的无穷小.

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2. 设

y = f (x)

是方程

y^{''} - 2 y^{'} + 4 y = 0

的一个解, 且

f (x_{0}) > 0, f^{'} (x_{0}) = 0

, 则函数

f (x)

在点

x_{0}

处

A.

取得极大值.

B.

取得极小值.

C.

某邻域内单调增加.

D.

某邻域内单调减少.

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3. 设有空间区域

Ω_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ R^{2}, z ⩾ 0

; 及

Ω_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ R^{2}, x ⩾ 0, y ⩾ 0, z ⩾ 0

, 则( )

A.

∭_{Ω_{1}} x d v = 4 ∭_{Ω_{2}} x d v

B.

∭_{Ω_{1}} y d v = 4 ∭_{Ω_{2}} y d v

C.

∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v

D.

∭_{Ω_{1}} x y z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} x y z d v

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4. 若

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}

在

x = - 1

处收敛,则此级数在

x = 2

处

A.

条件收敛.

B.

绝对收敛.

C.

发散.

D.

收敛性不能确定.

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n

维向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} (3 ⩽ s ⩽ n)

线性无关的充分必要条件是（　　）

A.

存在一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

, 使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} \neq 0

B.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意两个向量都线性无关.

C.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.

D.

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

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二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 若

f (t) = lim_{x \to \infty} t {(1 + \frac{1}{x})}^{2 t x}

, 则

f^{'} (t) =

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7. 设

f (x)

是周期为 2 的周期函数, 它在区间

(- 1, 1]

上的定义为

f (x) = {\begin{cases} 2, & - 1 < x ⩽ 0, \\ x^{3}, & 0 < x ⩽ 1, \end{cases}

则

f (x)

的傅里叶 (Fourier) 级数在

x = 1

处收敛于

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8. 设

f (x)

是连续函数, 且

\int_{0}^{x^{3} - 1} f (t) d t = x

, 则

f (7) =

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9. 设

4 \times 4

矩阵

A = (α, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4}), B = (β, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4})

, 其中

α, β, γ_{2}, γ_{3}, γ_{4}

均为 4 维列向量, 且已知行列式

| A | = 4, | B | = 1

, 则行列式

| A + B | =

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10. 设三次独立试验中, 事件

A

出现的概率相等. 若已知

A

至少出现一次的概率等于

\frac{19}{27}

, 则事件

A

在一次试验中出现的概率为

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11. 在区间

(0, 1)

中随机地取两个数, 则事件“两数之和小于

\frac{6}{5}

” 的概率为

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12. 设随机变量

X

服从均值为 10 , 均方差为

0.02

的正态分布. 已知

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{u^{2}}{2}} d u, Φ (2.5) = 0.9938,

则

X

落在区间

(9.95, 10.05)

内的概率为

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 3)^{n}}{n 3^{n}}

的收敛域.

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14. 已知

f (x) = e^{x^{2}}, f [φ (x)] = 1 - x

且

φ (x) ⩾ 0

, 求

φ (x)

并写出它的定义域.

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15. 设

Σ

为曲面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

的外侧, 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y .

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16. 设

u = y f (\frac{x}{y}) + x g (\frac{y}{x})

, 其中函数

f, g

具有二阶连续导数, 求

x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}

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17. 设函数

y = y (x)

满足微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 2 e^{x}

, 且其图形在点

(0, 1)

处的切线与曲线

y =

x^{2} - x + 1

在该点的切线重合, 求函数

y = y (x)

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18. 设位于点

(0, 1)

的质点

A

对质点

M

的引力大小为

\frac{k}{r^{2}} (k > 0

为常数,

r

为质点

A

与

M

之间的距离

)

, 质点

M

沿曲线

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

自

B (2, 0)

运动到

O (0, 0)

, 求在此运动过程中质点

A

对质点

M

的引力所作的功.

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19. 已知

A P = P B

, 其中

B = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), P = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{array})

, 求

A

及

A^{5}

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20. 已知矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

相似.
(1) 求

x

与

y

;
(2) 求一个满足

P^{- 1} A P = B

的可逆矩阵

P

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21. 设函数

f (x)

在区间

[a, b]

上连续, 且在

(a, b)

内有

f^{'} (x) > 0

.
证明: 在

(a, b)

内存在唯一的

ξ

, 使曲线

y = f (x)

与两直线

y = f (ξ), x = a

所围平面图形面积

S_{1}

是曲线

y = f (x)

与两直线

y = f (ξ)

x = b

所围平面图形面积

S_{2}

的 3 倍.

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22. 设随机变量

X

的概率密度函数为

f_{X} (x) = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

, 求随机变量

Y = 1 - \sqrt[3]{X}

的概率密度函数

f_{Y} (y)

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23. 计算

I = \int_{1}^{2} d x \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{π x}{2 y} d y + \int_{2}^{4} d x \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{π x}{2 y} d y .

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24. 求椭球面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

上某点

M

处的切平面

π

的方程，使平面

π

过已知直线

L : \frac{x - 6}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{2 z - 1}{- 2} .

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