单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, 该函数在 $x=x_{0}$ 处的微分 $\mathrm{d} y$ 是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 与 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解, 且 $f\left(x_{0}\right)>0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处
$\text{A.}$ 取得极大值.
$\text{B.}$ 取得极小值.
$\text{C.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{D.}$ 某邻域内单调减少.
设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$; 及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$, 则( )
$\text{A.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$.
$\text{B.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$.
$\text{C.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$.
$\text{D.}$ $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$.
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 在 $x=-1$ 处收敛,则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性不能确定.
$n$ 维向量组 ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}(3 \leqslant s \leqslant n)$ 线性无关的充分必要条件是 （ ）
$\text{A.}$ 存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使 $k_{1} {\alpha}_{1}+k_{2} {\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} {\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}$.
$\text{B.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中任意两个向量都线性无关.
$\text{C.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.
$\text{D.}$ ${\alpha}_{1}, {\alpha}_{2}, \cdots, {\alpha}_{s}$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数, 它在区间 $(-1,1]$ 上的定义为
$$
f(x)= \begin{cases}2, & -1 < x \leqslant 0, \\ x^{3}, & 0 < x \leqslant 1,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 的傅里叶 (Fourier) 级数在 $x=1$ 处收敛于
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{d} t=x$, 则 $f(7)=$
设 $4 \times 4$ 矩阵 ${A}=\left({\alpha}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right), {B}=\left({\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}\right)$, 其中 ${\alpha}, {\beta}, {\gamma}_{2}, {\gamma}_{3}, {\gamma}_{4}$ 均为 4 维列向量, 且已知行列式 $|{A}|=4,|{B}|=1$, 则行列式 $|{A}+{B}|=$
设三次独立试验中, 事件 $A$ 出现的概率相等. 若已知 $A$ 至少出现一次的概率等于 $\frac{19}{27}$, 则事件 $A$ 在 一次试验中出现的概率为
在区间 $(0,1)$ 中随机地取两个数, 则事件“两数之和小于 $\frac{6}{5}$ ” 的概率为
设随机变量 $X$ 服从均值为 10 , 均方差为 $0.02$ 的正态分布. 已知
$$
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \mathrm{~d} u, \Phi(2.5)=0.9938,
$$
则 $X$ 落在区间 $(9.95,10.05)$ 内的概率为
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n}}{n 3^{n}}$ 的收敛域.
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧, 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中函数 $f, g$ 具有二阶连续导数, 求 $x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$.
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \mathrm{e}^{x}$, 且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=$ $x^{2}-x+1$ 在该点的切线重合, 求函数 $y=y(x)$.
设位于点 $(0,1)$ 的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^{2}}(k>0$ 为常数, $r$ 为质点 $A$ 与 $M$ 之间的距离 $)$, 质点 $M$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 自 $B(2,0)$ 运动到 $O(0,0)$, 求在此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引 力所作的功.
已知 ${A} {P}={P B}$, 其中 ${B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), {P}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$, 求 ${A}$ 及 ${A}^{5}$.
已知矩阵 ${A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right)$ 与 ${B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似.
(1) 求 $x$ 与 $y$;
(2) 求一个满足 ${P}^{-1} {A P}={B}$ 的可逆矩阵 ${P}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, 且在 $(a, b)$ 内有 $f^{\prime}(x)>0$.
证明: 在 $(a, b)$ 内存在唯一的 $\xi$, 使曲 线 $y=f(x)$ 与两直线 $y=f(\xi), x=a$ 所围平面图形面积 $S_{1}$ 是曲线 $y=f(x)$ 与两直线 $y=f(\xi)$, $x=b$ 所围平面图形面积 $S_{2}$ 的 3 倍.
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)}$, 求随机变量 $Y=1-\sqrt[3]{X}$ 的概率密度函数 $f_{Y}(y)$.
计算
$$
I=\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^x \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y+\int_2^4 \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^2 \sin \frac{\pi x}{2 y} \mathrm{~d} y .
$$
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上某点 $M$ 处的切平面 $\pi$ 的方程，使平面 $\pi$ 过已知直线
$$
L: \frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2 z-1}{-2} .
$$