单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1$ 的一个焦点为 $F(-\sqrt{3}, 0)$, 则这个椭圆的方程是 ( )
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$
已知曲线 $C: \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a-1}=1$ ，则 " $a>0$ " 是 "曲线 C 是椭圆" 的（）
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
椭圆 $C: \frac{x^2}{m+2}+\frac{y^2}{m}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 为椭圆 $C$ 上一点, 若 $\triangle P F_1 F_2$ 的周长为 $6+2 \sqrt{2}$,则椭圆 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$
已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$, 过 $F_1$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $P, Q$ 两点, 若 $\angle P F_2 Q$ 为针角, 则 $k$ 的取值范围为 ( $)$
$\text{A.}$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \mathrm{U}\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{7}}{7}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\sqrt{7}}{7}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\sqrt{7}}{7}\right)$
设 $F_1, F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的左, 右焦点, 过 $F_1$ 的直接 1 交椭圆于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 则 $\left|A F_2\right|+\left|B F_2\right|$ 的最大值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 13
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 10
设 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 为针角三角形, 则离心率 $e$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $0 < e < \sqrt{2}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}-1 < e < 1$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} < e < 1$
$\text{D.}$ $0 < e < \frac{1}{2}$
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$, 过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点, 若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则椭圆 $E$ 的方程为（）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{36}=1$
已知交于点 $P$ 的直线 $l_1, l_2$ 相互垂直, 且均与椭圆 $C: \frac{x^2}{3}+y^2=1$ 相切, 若 $A$ 为 $C$ 的上顶点, 则 $|P A|$ 的取值范围
$\text{A.}$ $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$
$\text{B.}$ $[1, \sqrt{3}]$
$\text{C.}$ $[\sqrt{3}, 3]$
$\text{D.}$ $[1,3]$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2, A, B$ 两点都在 $C$ 上, 且 $A, B$ 关于坐标原点对称, 下列说法错误的是（）
$\text{A.}$ $|A B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ $\left|A F_1\right|+\left|B F_1\right|$ 为定值
$\text{C.}$ $C$ 的焦距是短轴长的 2 倍
$\text{D.}$ 存在点 $A$, 使得 $A F_1 \perp A F_2$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知直线 $l: k x-y-k=0$, 椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, 则下列说法正确的有 ( )
$\text{A.}$ $l$ 恒过点 $(1,0)$
$\text{B.}$ 若 $l$ 恒过 $C$ 的焦点, 则 $a^2+b^2=1$
$\text{C.}$ 对任意实数 $k, l$ 与 $C$ 总有两个互异公共点, 则 $a \geq 1$
$\text{D.}$ 若 $a < 1$, 则一定存在实数 $k$, 使得 $l$ 与 $C$ 有且只有一个公共点
伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短
半轴长乘积的 $\pi$ 倍, 这种方法已具有积分计算的维形. 已知椭圆 $C$ 的面积为 $12 \sqrt{5} \pi$, 离心率为 $\frac{2}{3}, F_1, F_2$ 是椭圆 $C$的两个焦点， $A$ 为粗圆 $C$ 上的动点，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 椭圆 $C$ 的标准方程可以为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$
$\text{B.}$ 若 $\angle F_1 A F_2=\frac{\pi}{3}$, 则 $S_{\triangle F_1 A F_2}=20 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 存在点 $A$, 使得 $\left.\angle F_1 A F_2=\frac{\pi}{2} \right\rvert\,$
$\text{D.}$ $\frac{2}{\left|A F_1\right|}+\frac{1}{\left|A F_2\right|}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{6}$
椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P$ 在椭圆 $C$ 上, 点 $Q$ 在以 $M(-2,4)$ 为圆心, $C$ 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|$ 的最大值为 4
$\text{C.}$ 过点 $M$ 的直线与椭圆 $C$ 只有一个公共点, 此时直线方程为 $15 x+16 y-34=0$
$\text{D.}$ $|P Q|-\left|P F_2\right|$ 的最小值为 $\sqrt{23-4 \sqrt{3}}-6$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知斜率为 1 的直线 $l$ 过椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点, 交椭圆于 $A, B$ 两点, 则弦 $A B$ 的长为
设椭圆 $E$ 的两个焦点是 $F_1, F_2$, 过点 $F_2$ 的直线与椭圆 $E$ 交于点 $A, B$, 若 $\left|A F_1\right|=\left|F_1 F_2\right|$, 且 $\left|A F_2\right|=2\left|B F_2\right|$, 则椭圆 $E$ 的离心率是
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点, 且 $|A F|=3|F B|$,则直线 $l$ 的斜率为
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1, A_1(-2,0), F_1(-1,0)$, 斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 若直线 $A_1 P$ 与 $A_1 Q$的斜率之积为 $-\frac{1}{4}$, 且 $\angle P F_1 Q$ 为钝角, 则 $k$ 的取值范围为