伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短
半轴长乘积的 $\pi$ 倍, 这种方法已具有积分计算的维形. 已知椭圆 $C$ 的面积为 $12 \sqrt{5} \pi$, 离心率为 $\frac{2}{3}, F_1, F_2$ 是椭圆 $C$的两个焦点， $A$ 为粗圆 $C$ 上的动点，则下列说法正确的是（）
A. 椭圆 $C$ 的标准方程可以为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$
B. 若 $\angle F_1 A F_2=\frac{\pi}{3}$, 则 $S_{\triangle F_1 A F_2}=20 \sqrt{3}$
C. 存在点 $A$, 使得 $\left.\angle F_1 A F_2=\frac{\pi}{2} \right\rvert\,$
D. $\frac{2}{\left|A F_1\right|}+\frac{1}{\left|A F_2\right|}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{6}$