设 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 为针角三角形, 则离心率 $e$ 的取值范围为（）
A. $0 < e < \sqrt{2}-1$
B. $\sqrt{2}-1 < e < 1$
C. $\frac{1}{2} < e < 1$
D. $0 < e < \frac{1}{2}$