椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P$ 在椭圆 $C$ 上, 点 $Q$ 在以 $M(-2,4)$ 为圆心, $C$ 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）
A. 椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$
B. $\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|$ 的最大值为 4
C. 过点 $M$ 的直线与椭圆 $C$ 只有一个公共点, 此时直线方程为 $15 x+16 y-34=0$
D. $|P Q|-\left|P F_2\right|$ 的最小值为 $\sqrt{23-4 \sqrt{3}}-6$