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已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1, A_1(-2,0), F_1(-1,0)$, 斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 若直线 $A_1 P$ 与 $A_1 Q$的斜率之积为 $-\frac{1}{4}$, 且 $\angle P F_1 Q$ 为钝角, 则 $k$ 的取值范围为
                        
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